為了學習動態系統和混沌，首先要知道迭代，即不斷重複某個過程。

例如種群的增長就是一個迭代過程，

因為繁衍過程會不斷地重複。

我們先來看一個簡單的增長模型——simple population growth.nlog。

這個模型可以在課程網頁上下載。

打開這個模型。

在這個模型裏，當我們點擊setup按鈕時，模型產生一個個體作為種群。

出生率設為2，即每一步這只兔子會生下兩隻兔子，然後死亡。

所以當按下reproduce按鈕時，可以注意到這個過程。

現在後代是兩隻兔子。

如果再來一次，那麼現在這兩隻兔子會生下4只兔子，然後死去。

以此類推，模型裏很快就到處是兔子。

模型給出了兩條曲線。

上面一條是種群數量對時間作圖。

每一步種群數量都會翻倍，增長非常迅速。

還有另一種描述這個過程的方法。

用去年的種群數量對今年的

數量作圖。

這裏每一步就代表一年。

如果去年的數量是，大概100吧，那今年的數量就是200.

如兩個橫縱坐標所示。

去年是300，今年就是600。

所以圖像是條直線。非常簡單。

因為它很簡單，所以我們可以寫出它的數學模型。

先點這裏關掉netlogo。

然後我們來寫方程。

首先來定義一些符號：

種群數量稱為n，

初始種群數量為n(0)（0是下標），

——在我們的模型中，n(0)等於1，即最開始只有1只兔子——

n(1)等於第一年的數量，然後依次類推

——這裏n(1)等於2，最開始的那只兔子生了2只兔子然後死去。

我們可以把第t年的種群數量標為n(t)。

同時也要設定出生率，即每年出生的後代數量。

注意n(1)等於出生率乘以n(0)，即最初有1只，然後乘以2得兩個後代。

類似地，n(2)等於出生率乘以n(1)。

所以一般的運算式就是n(t+1)，即第t+1年的數量，等於出生率乘以前一年的數量nt。

這就是我們的模型。

在這裏，迭代就是利用前一年的數量去計算下一年的數量。

再下一年的數量又可以由剛得到的數量計算。以此類推。

這就是迭代。

剛才的種群增長是指數增長。

這可以由一個統計種群增長的表格看出。

先是年t，然後是當年的數量n(t)。

當t等於0，n(t)等於1.

還有出生率等於2。

第一年n(t)等於2；第二年n(t)等於4.每年種群數量都在翻倍。

到第三年n(t)等於8，等等。

希望大家看到其中的趨勢。

在第t年，種群數量為2的t次方。

2的1次，2次，3次，t次（話真多！）。

這就叫指數函數，因為這裏有個指數t。

這種增長方式非常迅速。

當然，這是完全不現實的。

因為這是完全不受控的增長。

在現實世界中，增長是有限制的。

種群在增長時會耗盡資源，食物和空間。

但我們先假設沒有這些限制，然後再看一遍netlogo模型。

一個充滿兔子的世界，一條數量對時間的曲線，

也可以用今年數量對去年數量作圖

這裏數量對時間的曲線符合指數函數，2的t次方。

但如果用今年的數量對去年的數量作圖則得到線性方程。

寫個備註提醒一下：

n（t+1）等於出生率乘以n（t）

如果大家還記得代數學，那這個方程就代表了一條直線：

y等於斜率乘以x。

y是今年的數量，斜率就是生長率2，

將x乘以2就得到y。

這個線性方程反映了這個系統的線性本質，注意今年和去年數量的關係。

我們剛才說到線性和非線性。

線性是說兔子與兔子之間沒有相互影響，

兔子獨立繁殖，互不影響。

在這個意義上，互不影響導致了線性增長。

小測驗：假設出生率是3，初始兔子數量n(0)等於1，那麼n(4)是多少？