为了学习动态系统和混沌，首先要知道迭代，即不断重复某个过程。

例如种群的增长就是一个迭代过程，因为繁衍过程会不断地重复。

我们先来看一个简单的增长模型——simple population growth.nlog。

这个模型可以在课程网页上下载。

打开这个模型。

在这个模型里，当我们点击setup按钮时，模型产生一个个体作为种群。

出生率设为2，即每一步这只兔子会生下两只兔子，然后死亡。

所以当按下reproduce按钮时，可以注意到这个过程。

现在后代是两只兔子。

如果再来一次，那么现在这两只兔子会生下4只兔子，然后死去。

以此类推，模型里很快就到处是兔子。

模型给出了两条曲线。

上面一条是种群数量对时间作图。

每一步种群数量都会翻倍，增长非常迅速。

还有另一种描述这个过程的方法。

用去年的种群数量对今年的数量作图。

这里每一步就代表一年。

如果去年的数量是，大概100吧，那今年的数量就是200.

如两个横纵坐标所示。

去年是300，今年就是600。

所以图像是条直线。非常简单。

因为它很简单，所以我们可以写出它的数学模型。

先点这里关掉netlogo。把它扔一边去。

然后我们来写方程。

首先来定义一些符号：

种群数量称为n，

初始种群数量为n0（0是下标），

——在我们的模型中，n0等于1，即最开始只有1只兔子——

n1等于第一年的数量，然后依次类推

——这里n1等于2，最开始的那只兔子生了2只兔子然后死去。

我们可以把第t年的种群数量标为nt。

同时也要设定出生率，即每年出生的后代数量。

注意n1等于出生率乘以n0，即最初有1只，然后乘以2得两个后代。

类似地，n2等于出生率乘以n1。

所以一般的表达式就是nt+1，即第t+1年的数量，等于出生率乘以前一年的数量nt。

这就是我们的模型。

在这里，迭代就是利用前一年的数量去计算下一年的数量。

再下一年的数量又可以由刚得到的数量计算。以此类推。

这就是迭代。

刚才的种群增长是指数增长。

这可以由一个统计种群增长的表格看出。

先是年t，然后是当年的数量nt。

当t等于0，nt等于1.

还有出生率等于2。

第一年nt等于2；第二年nt等于4.每年种群数量都在翻倍。

到第三年nt等于8，等等。

希望大家看出了其中的趋势。

在第t年，种群数量为2的t次方。

2的1次，2次，3次，t次（话真多！）。

这就叫指数函数，因为这里有个指数t。

这种增长方式非常迅速。

当然，这是完全不现实的。

因为这是完全不受控的增长。

在现实世界中，增长是有限制的。

种群在增长时会耗尽资源，食物和空间。

但我们先假设没有这些限制，然后再看一遍netlogo模型。

一个充满兔子的世界，一条数量对时间的曲线，

也可以用今年数量对去年数量作图

这里数量对时间的曲线符合指数函数，2的t次方。

但如果用今年的数量对去年的数量作图则得到线性方程。

写个备注提醒一下：

nt+1等于出生率乘以nt

如果大家还记得代数学，那这个方程就代表了一条直线：

y等于斜率乘以x。

y是今年的数量，斜率就是生长率2，

将x乘以2就得到y。

这个线性方程反映了这个系统的线性本质，注意今年和去年数量的关系。

我们刚才说到线性和非线性。

线性是说兔子与兔子之间没有相互影响，

兔子独立繁殖，互不影响。

在这个意义上，互不影响导致了线性增长。

小测验：假设出生率是3，初始兔子数量n0等于1，那么n4是多少？