Первой концепцией для понимания динамики и хаоса является
итерация -- процесс, который повторяется снова и снова.
Например давайте подумаем о росте популяции.
Рост населения является повторяющимся процессом,
так как воспроизводство происходит раз за разом. мы будем смотреть на
очень простую модель роста популяции, называемою SimplePopulationGrowth.nlogo.
Как обычно она доступна на странице с материалами курса
Откройте эту модель.
Когда мы нажмем setup модель производит индивида, составляющего нашу популяцию.
Birth rate (рождаемость) установлена на 2, это значит
что каждый шаг маленький кролик будет производить двух потомков и умирать.
Поэтому при нажатии кнопки reproduce (воспроизводить) можно увидеть появление двух потомков.
Теперь на следующий шаг каждый из этих кроликов произведет двух потомков и умрет.
И так далее, и так далее.
И очень быстро мир начнет все больше и больше заполняться этими кроликами.
Эта модель показывает нам два графика.
Верхний -- показывает на популяцию через некоторое время.
Таким образом в каждый момент времени популяция удваивается.
Вы можете видеть, что это происходит быстро.
Так же еще один график предоставляет нам другой путь посмотреть на это,
на нем мы строим зависимость населения в прошлом году и населения в этом году.
Каждый шаг представляет собой один шаг роста популяции --
если в этом году у нас популяция составляла 100 единиц и,
если в следующем году популяция будет 200 единиц, вы сможете здесь это увидеть.
И если 300 было в прошлом году, то в этом году будет 600. И так далее.
Вы можете увидеть, что мы получаем прямую линию. Это очень просто.
Потому, что это просто, мы можем представить это в виде математической модели.
Нажмите здесь, чтобы свернуть NetLogo.
Давайте запишем некоторые уравнения.
Во-первых, давайте определимся с терминологией.
n маленькое называется популяцией.
n c индексом 0 называется исходной популяцией.
В нашей модели n0 равно 1, что соответствует одному индивиду.
n с индексом 1 равно значению популяции в первый год. И так далее.
Здесь n1 равно 2 , у первоначальный кролик производит 2 кроликов, а потом умирает.
В общем случае мы можем заметить, что n с индексом t это популяция в год t.
У нас также есть значение рождаемости (birth rate), которая является числом потомков произведенных каждый год.
Мы заметим, что n c индексом 1 равно рождаемости (birth rate) умноженной на n c индексом 0.
Правильно?! Так как мы имеем 1 в начале и мы умножаем его на два, получив двух потомков
Аналогично, n2 равна рождаемости (birth rate) умноженной на n1
В общем случае n с индексом t+1, популяция в году t+1,
это рождаемость (birth rate) умноженная на прошлогоднюю популяцию n с индексом t.
Это и есть наша модель.
Итеративная часть происходит из того факта что мы всегда берем прошлогоднюю популяцию
и используем ее для расчета популяции на следующий год.
И тогда год спустя мы возьмем эту новую популяцию, чтобы вычислить следующую популяцию.
И так далее. Это и называется итерацией.
Эта модель называется -- экспоненциальный рост популяции.
И мы можем увидеть из следующей таблицы роста популяции.
И так, давайте запишем в первом столбце год, а во втором запишем n c индексом t.
Этот год будет t. Как мы помним сначала у нас t равно 0, а nt равно 1.
И это для рождаемости (birth rate) равной 2.
В 1 год у нас есть 1. Во второй год 4.
Потому что популяция удваивается каждый год.
На третьем году популяция равна 8. И так далее.
Я надеюсь вы разглядели здесь нашу модель.
Потому что в год равны t мы наблюдаем популяцию 2 в степени t.
И так 2, 2 во 2 степени, 2 в 3 степени и 2 в степени t.
Это называется степенной функцией, потому что у нас степень t, которая является причиной очень очень быстрого роста популяции.
Конечно, это абсолютно нереалистично. Это неконтролируемы рост популяции.
Конечно, в реальном мире имеется ограничение роста популяции истощением ресурсов, продуктов питания или пространства в котором происходит рост.
Тем не менее в рассматриваемой NetLogo модели, мы предполагаем, что этих ограничений нет.
Как мы помним, у нас есть мир заполненный кроликами
У нас есть график зависимости популяции от времени.
Так мы можем нарисовать график зависимости популяции этого года и прошлогодней популяции.
График зависимости популяции от времени является графиком степенной функции 2 в степени t.
График отношения прошлогодней популяции к популяции этого года является графиком линейной функции.
Напишем заметку: n с индексом t+1 равно рождаемости (birth rate) умноженной на n с индексом t.
Для тех кто помнит курс алгебры, тот знает, что это уравнение представляет собой прямую линию.
У нас есть y равное константе (склону) умноженному на x.
Здесь наша ось y. Склон, являющийся рождаемостью (birth rate) тоже есть. И он показывает на, что надо удвоить x, чтобы получить y.
Это линейное уравнение отражает линейную природу системы.
Если мы посмотри на отношение популяции этого года к прошлогодней популяции
В первом модуле мы говорили линейности и нелинейности.
Линейность состоит в том, что нет взаимодействия между кроликами.
Кролики воспроизводят потомство независимо друг от друга.
Эта независимость дает в результате линейный рост.
Отлично, настало время для теста:
рождаемость (birth rate) равна 3, начальная популяция n0 снова равна 1 кролику.
Вопрос заключается в том какой будет наша популяция на 4 год.