O primeiro conceito para entender 
Dinâmica e Caos é

interação, que faz algo repetitivamente.

Por exemplo, vamos pensar sobre o
crescimento da população.

Crescimento da população não é um
processo de liderança

desde de que a reprodução acontece 
repetidamente.

Vamos olhar um modelo extremamente 
simples de crescimento populacional,

chamado de 
simplepopulationgrotwth.nlogo

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online de materiais do curso.

Então abra o modelo.

Nesse modelo, quando clicamos em 
Setup iniciamos com um único indivíduo

formando nossa população.

A taxa de natalidade é 2, o que significa

que cada etapa deste pequeno coelho
produzirá 2 crias e morrerá.

Então quando clicamos em" reproduce", 
você pode ver que temos 2 crias.

Agora o próximo passo é que cada um
desses coelhos produzirá 2 crias e

morrerá, e isto acontecerá 
repetitivamente, e então o mundo

começa a preencher-se com mais e 
mais desses coelhos.

O modelo nos mostra dois gráficos, o
primeiro nos dá população ao longo do

tempo, então a cada etapa de tempo a 
população dobra, você pode ver que isto

começa a subir rapidamente.

Temos o outro gráfico, uma 
outra maneira de ver isto,

em que marcamos a população do 
ano passado com a deste ano.

Pensamos que cada etapa de tempo do 
ano, representa um ano.

A população do ano passado diz que 
100 da população deste ano será 200.

Pode ver isto aqui, e se ano passado 
era 300 este ano será 600 e assim por 
diante.

Você pode ver que temos uma linha
reta.

Isso não poderia ser tão simples, certo.

Bem, porque é tão simples, irei lhe 
mostrar como transformar isso em um

modelo matemático.

Então vamos fechar o Netlogo aqui e 
por isso de lado, e

vamos escrever algumas equações.

Primeiro uma terminologia, vamos 
chamar população de "n".

então "n"é igual a população.

Vamos rotular a população inicial de
"n0", em nosso modelo "n0"é igual a

um, houve apenas um único indivíduo.

Então podemos rotular similarmente 
"n1"é igual a população de um ano e 
assim por diante.

Acredite, porque nosso primeiro coelho
teve 2 coelhinhos e então morre.

Mas geralmente podemos rotular "nt" 
como população t por ano.

Nós também tivemos o valor para a 
taxa de natalidade, que foi o número

de crias produzidas cada ano

Notamos que "n1"é igual a taxa de
natalidade vezes "n0".

Então tinhamos uma no início e nós
multiplicamos isso por 2, para

conseguir a cria. Similarmente "n2" é 
igual a taxa de natalidade vezes "n1".

Nós podemos generalizar isso dizendo 
que "nt+1" é igual a taxa de natalidade

vezes a população do ano anterior "nt".
Então este é o nosso modelo.

A parte interativa vem do fato de que 
nós sempre usamos a população do ano

anterior para calcular a população do
próximo ano

e no ano seguinte nós pegamos essa 
nova população para calcular a

população para os anos seguintes, 
e assim por diante.

Isso chama-se interação.

Isto chama-se Crescimento populacional
Exponencial, e vemos isso a seguir.

Vamos fazer uma tabela aqui em cima 
do Crescimento populacional

aqui escrevemos o ano e aqui "nt". 
Então este é o ano "t" e este "nt".

Temos 0 e você lembra que este é 1 e 
este é para taxa de natalidade = 2

No ano 1 nós temos 2, no ano 2 nós 
temos 4, porque estamos dobrando

estes a cada ano, no ano 3 temos 8 
e assim por diante.

Espero que você tenha visto o 
padrão aqui, porque em um ano "t"

nós vemos que nossa população está 
com 2 elevado a "t", então

2 elevado a 1, 2 elevado a 2, 
2 elevado a 3 e 2 elevado a "t".

Isto chama-se função exponencial
porque nós temos este expoente "t"

e isto faz com que a população cresça
bem rápido.

Claro que isto é completamente 
irrealista, é um crescimento populacional

descontrolado, e claro no mundo real
existem limites para este crescimento;

uma população iria ficar sem recursos
como, comida ou espaço para crescer.

Mas por agora vamos assumir que não 
há limite para o crescimento.

Agora vamos ver de novo a versão 
deste modelo no Netlogo.

Então lembre-se que aqui nós temos
nosso mundo cheio de coelhos.

Nós tínhamos nossa população versos 
tempo.

Mas agora nós podemos traçar a
população deste ano versos

a população do ano passado.

Agora este aqui, população versos time
não é uma função exponencial,

que era uma função que teve que se
elevar a "t".

Esta é como uma função exponencial se
parece

Mas se nós traçarmos a população
deste ano com a população

do ano passado, nós temos uma 
função linear;

Nós podemos por uma pequena nota
para nos lembrar como a função era;

a função n "( t+1)" = 
a taxa de natalidade vezes n"t".

Para aqueles que se lembram 
vagamente de álgebra até mesmo

álgebra 1, esta é a equação de 
uma linha.

Nós temos Y = inclinação vezes X.

Então aqui está nosso y, a 
inclinação é a taxa de natalidade

que é 2, isto nos mostra cada vez que
olhamos para X nós duplicamos

isto para conseguir Y.

Bem, isto é uma equação linear e a 
razão de ser linear é que esta é a

essência do sistema linear, se nós 
olharmos para a população deste ano

versos a população do ano passado.

Nós falamos na unidade 1 sobre a 
noção de linear versos não linear.

Linear acontece porque não há 
interações entre esses coelhos;

você tem só reprodução e os coelhos 
vão todos independentemente uns dos
outros.

E independência nesse sentido no 
sistema produz crescimento linear.

Agora é hora para um Quiz.

Suponhamos que a taxa de natalidade
vá para 3;

deixamos a população inicial "n0" ser
1 coelho novamente;

a questão é: qual será a população 
no tempo 4 "n4"?