Il primo concetto per capire dinamica e caos è l'iterazione che viene eseguita continuamente ad esempio, pensiamo alla crescita della popolazione che è un processo iterativo poiché la riproduzione accade continuamente. Osserveremo un modello estremamente semplice di crescita della popolazione, chiamato SimplePopultionGrowth.nlogo. Come sempre, è disponibile nella pagina dei materiali del corso. Apriamo il modello. Facendo click su setup Inizia con un singolo individuo, che rappresenta la popolazione. Il tasso di nascita è 2, il che significa che in ogni unità di tempo questo coniglietto produrrà due coniglietti e morirà. Quindi clicchiamo su reproduce, e potete vedere cosa succede. poi, nella seguente unità di tempo, ciascuno di questi produrrà altri due conigli e moriranno, e così via. Il mondo si riempirà molto velocemente sempre con più conigli. Il modello ci mostra due grafici Quello in alto ci mostra la popolazione nel tempo e ad ogni unità di tempo la popolazione raddoppia potete vedere come cresce velocemente. Abbiamo anche un altro grafico un altro modo per osservare ciò in cui rappresentiamo la popolazione dell'anno precedente con quella di quest'anno. Pensiamo ad ogni anno come una unità di tempo, ogni passo rappresenta un anno. Se la popolazione dell'anno precedente è 100, quella di quest'anno diventa 200 se c'è 300 l'anno prima sarà 600 quest'anno e così via. Vedete una linea retta. Non può essere così semplice Poiché è cosi semplice, ve lo mostrerò come modello matematico. Chiudiamo netlogo e mettamolo da parte e scriviamo alcune equazioni. Prima la terminologia. Chiamiamo n la popolazione. Indichiamo la popolazione iniziale n_o. Nel nostro modello n_o = 1, c'è un solo individuo. Analogamente scriviamo n_1 = popolazione dell'anno 1 e così via. Quindi l'anno seguente avremo due conigli, perché l'iniziale muore e più generalmente possiamo indicare la popolazione all'anno t come n_t, Inoltre abbiamo il valore del tasso di nascita che era il numero di figli prodotti ciascun anno Abbiamo notato che n_1 era uguale al tasso di nascita moltiplicato per n_o, vero?, Abbiamo 1 all'inizio e lo moltiplichiamo per due per avere due figli e analogamente n_2 è uguale al tasso di nascita moltiplicato per n_1. Possiamo generalizzare ciò dicendo che n_t+1 che è la popolazione all'anno t+1 è uguale al tasso di nascita moltiplicato per la popolazione dell'anno precedente n_t. Quindi questo è in nostro modello. La parte iterativa deriva dal fatto che sempre prendiamo la popolazione dell'anno precedente per calcolare la popolazione del successivo e anno dopo anno prenderemo la popolazione per calcolare la successiva e questa è un'iterazione questa è la crescita esponenziale della popolazione e possiamo vederla così: se la rappresentiamo in una tabella qui l'anno e qui scriviamo n_t Quindi questo è l'anno t e questo n_t abbiamo l'anno 0 e ricordiamo che questo è 1 e questo è, per il tasso di nascita, uguale a 2. All'anno 1 avevamo 2. All'anno 2 avevamo 4 perché raddoppiamo. All'anno 3 abbiamo 8. E così via, e spero che vediate qui il pattern perché all'anno t vediamo che la popolazione è 2 elevato alla potenza t. Quindi 2 elevato alla 1, alla 2, alla 3, alla t. Questa si chiama crescita esponenziale perché abbiamo l'esponente t e causa una crescita della popolazione molto veloce. Ovviamente non è per niente realistica, e una crescita non controllata e, ovviamente, nel mondo reale c'è un limite di crescita. Una popolazione terminerà le risorse terminerà il cibo o li spazio in cui crescere. Ma per adesso consideriamo una crescita senza limiti. Osserviamo di nuovo la versione di questo modello su NetLogo. Ricordiamo che abbiamo il nostro mondo che si riempie di conigli. Qui abbiamo il grafico della popolazione nel tempo. E ora possiamo disegnare il grafico della popolazione rispetto alla popolazione dell'anno precedente. La prima è una funzione esponenziale, che è la funzione che conteneva in sè la potenza 2 elevato alla t, ed è così che la funzione esponenziale appare, ma se disegnamo la popolazione di quest'anno rispetto alla popolazione dell'anno precedente abbiamo una funzione lineare in cui possiamo mettere una piccola nota per ricordarci quale era la funzione. Quindi n_(t+1) = tasso di nascita * n_t n_(t+1) = tasso di nascita * n_t n_(t+1) = tasso di nascita * n_t n_(t+1) = tasso di nascita * n_t Per coloro che ricordano vagamente l'algebra addirittura algebra 1, questa è l'equazione di una linea: abbiamo che y è uguale alla pendenza moltiplicato x. La nostra pendenza è i tasso di nascita che è 2, questo mostra che ogni volta che abbiamo x, lo raddoppiamo per avere y Bene, questa è una equazione lineare e la ragione per cui è lineare è perché questo, nella sua essenza, è un sistema lineare, se consideriamo la popolazione annuale rispetto alla popolazione dell'anno precedente. Abbiamo parlato nella Unità 1 del concetto di non-linearità nei confronti della linearità. La linearità avviene perché non ci sono interazioni tra questi conigli: abbiamo solo la riproduzione e i conigli agiscono indipendentemente gli uni dagli altri, e l'indipendenza, in questo senso, in un sistema, porta alla linearità, ad una crescita lineare. Okay, ora è il momento di un quiz. Supponiamo ora che il tasso di nascita aumenti a 3. Lasciamo la popolazione iniziale n_0 uguale a 1 di nuovo. La domanda è: Quale è la popolazione al tempo 4?