Il primo concetto per capire dinamica e caos è
l'iterazione che viene eseguita continuamente
ad esempio, pensiamo alla crescita della popolazione
che è un processo iterativo
poiché la riproduzione accade continuamente. Osserveremo
un modello estremamente semplice di crescita
della popolazione, chiamato SimplePopultionGrowth.nlogo.
Come sempre, è disponibile nella pagina dei materiali del corso.
Apriamo il modello.
Facendo click su setup Inizia
con un singolo individuo, che rappresenta la popolazione.
Il tasso di nascita è 2, il che significa che
in ogni unità di tempo questo coniglietto
produrrà due coniglietti e morirà.
Quindi clicchiamo su reproduce, e potete vedere cosa succede.
poi, nella seguente unità di tempo, ciascuno di questi produrrà altri due conigli
e moriranno, e così via.
Il mondo si riempirà molto velocemente
sempre con più conigli. Il modello ci mostra due grafici
Quello in alto ci mostra la popolazione nel tempo
e ad ogni unità di tempo la popolazione raddoppia
potete vedere come cresce velocemente. Abbiamo anche un altro grafico
un altro modo per osservare ciò
in cui rappresentiamo la popolazione dell'anno precedente
con quella di quest'anno. Pensiamo ad ogni anno
come una unità di tempo, ogni passo rappresenta un anno.
Se la popolazione dell'anno precedente è 100, quella di quest'anno diventa 200
se c'è 300 l'anno prima
sarà 600 quest'anno e così via. Vedete una linea retta.
Non può essere così semplice
Poiché è cosi semplice,
ve lo mostrerò come modello matematico.
Chiudiamo netlogo e mettamolo da parte
e scriviamo alcune equazioni.
Prima la terminologia.
Chiamiamo n la popolazione.
Indichiamo la popolazione iniziale
n_o. Nel nostro modello
n_o = 1, c'è un solo individuo.
Analogamente scriviamo
n_1 = popolazione dell'anno 1
e così via. Quindi l'anno seguente
avremo due conigli, perché l'iniziale
muore e
più generalmente possiamo indicare
la popolazione all'anno t come n_t,
Inoltre
abbiamo il valore
del tasso di nascita che era
il numero di figli prodotti ciascun anno
Abbiamo notato che
n_1 era uguale al tasso
di nascita moltiplicato per
n_o, vero?, Abbiamo 1
all'inizio e lo moltiplichiamo per due
per avere due figli e analogamente n_2
è uguale al tasso di nascita moltiplicato per n_1.
Possiamo generalizzare ciò
dicendo che n_t+1
che è la popolazione all'anno t+1
è uguale al tasso di nascita
moltiplicato per la popolazione dell'anno precedente n_t.
Quindi questo è in nostro modello.
La parte iterativa
deriva dal fatto che sempre
prendiamo la popolazione dell'anno precedente per
calcolare la popolazione del successivo
e anno dopo anno prenderemo
la popolazione per calcolare la successiva
e questa è un'iterazione
questa è la crescita esponenziale della popolazione
e possiamo vederla così:
se la rappresentiamo in una tabella
qui
l'anno
e qui scriviamo n_t
Quindi questo è l'anno t e questo n_t
abbiamo l'anno 0 e ricordiamo che questo è 1
e questo è, per il tasso di nascita,
uguale a 2. All'anno 1 avevamo 2.
All'anno 2 avevamo 4 perché raddoppiamo.
All'anno 3 abbiamo 8.
E così via, e spero che vediate qui il pattern
perché all'anno t vediamo
che la popolazione è 2 elevato alla potenza t.
Quindi 2 elevato alla 1, alla 2, alla 3,
alla t. Questa si chiama
crescita esponenziale perché abbiamo l'esponente t e causa una
crescita della popolazione molto veloce.
Ovviamente non è per niente realistica,
e una crescita non controllata e, ovviamente, nel mondo reale
c'è un limite di crescita. Una popolazione terminerà le risorse
terminerà il cibo o li spazio in cui crescere.
Ma per adesso consideriamo una crescita senza limiti.
Osserviamo di nuovo la versione di questo modello su NetLogo.
Ricordiamo che abbiamo il nostro mondo che si riempie di conigli.
Qui abbiamo il grafico della popolazione nel tempo.
E ora possiamo disegnare il grafico della popolazione rispetto alla popolazione dell'anno precedente.
La prima è una funzione esponenziale,
che è la funzione che conteneva in sè
la potenza 2 elevato alla t, ed è così
che la funzione esponenziale appare, ma se disegnamo la popolazione di quest'anno rispetto
alla popolazione dell'anno precedente abbiamo una funzione lineare
in cui possiamo mettere una piccola nota
per ricordarci quale era la funzione.
Quindi
n_(t+1) = tasso di nascita * n_t
Per coloro che ricordano vagamente l'algebra
addirittura algebra 1, questa è l'equazione di una linea:
abbiamo che y è uguale
alla pendenza moltiplicato x.
La nostra pendenza è i tasso di nascita che è 2,
questo mostra che ogni volta che abbiamo x, lo raddoppiamo per avere y
Bene, questa è una equazione lineare e la ragione per cui è lineare
è perché questo, nella sua essenza, è un sistema lineare,
se consideriamo la popolazione annuale rispetto alla popolazione dell'anno precedente.
Abbiamo parlato nella Unità 1 del concetto di non-linearità
nei confronti della linearità. La linearità
avviene perché non ci sono interazioni
tra questi conigli: abbiamo solo la riproduzione
e i conigli agiscono indipendentemente gli uni dagli altri,
e l'indipendenza, in questo senso, in un sistema,
porta alla linearità, ad una crescita lineare.
Okay, ora è il momento di un quiz.
Supponiamo ora che il tasso di nascita
aumenti a 3. Lasciamo la popolazione iniziale
n_0 uguale a 1 di nuovo.
La domanda è:
Quale è la popolazione
al tempo 4?