في الجزء الأخير هذه حول التطبيقات،
سوف أتحدث عن شمولية الشواش،
بدايةً مع عدد Feigenbaum.
تتذكر هذه الصورة من رسم التشعب البياني
للتطبيق اللوجيستي. إنّه من الواضح جداً أنّ
التشعبات البيانية في هذا التتالي
ليست مباعدة بالتساوي، بدلاً من ذلك، إنّها
أصغر عندما تزداد r وعندما تزداد الدورة
مع r. إذا نظرت عن كثب،
سترى أنّ العرض والارتفاع لهذه
المعزقات الصغيرة يتناقصان عند نسبة ثابتة:
وذلك حيث نسبة العرض دلتا 3
إلى العرض دلتا 2، هو حوالي نفس
نفس حجم نسبة العرض دلتا 2 إلى
دلتا 1. تقترب تلك النسبة في حد الدورة
العالي إلى قيمة حوالي 4.66.
Mitchell Feigenbaum هو مسؤول عن البرهان
حول أنّ تلك النسبة، وذلك العدد يحمل اسمه.
الآن، ستلاحظ الحد في هذه المعادلة،
ما يعنيه ذلك أنّ تلك الدلتا 1 زائد دلتا 2 هي قريبة
إلى 4.66، دلتا 2 زائد دلتا 2 أقرب إلى
4.66، وهكذا.
وفي حد تشعبات صغيرة جداً، في الواقع يحدد
العدد إلى عدد Feigenbaum.
لاحظ أنّ عدد Feigenbaum هو حوالي
عرض المعزقات. هناك نتيجة
مشابهة، لكن مع نسبة مختلفة للارتفاع.
الآن، الشيء المذهل بشأن هذه
النتيجة هي أنّها تبقى لأي دالة 1-D
مع حد أقصى تربيعي: وذلك حيث تسير
بشكلٍ جيد خارج نطاق التطبيق اللوجيستي. إنّها صحيحة أيضاً بالنسبة
إلى جيب زاوية التطبيق، وإنّها صحيحة أيضاً بالنسبة لأي
تطبيق آخر يبدو كقطع مكافئ بالقرب
من حده الأقصى. حول توضيح النقطة بشأن كم
هذا مذهل، يقول Steve Strogatz أنّ
عدد Feigenbaum هو ثابت مادي جديد
بوصفه أساسي بتطبيقات 1-D عندما تدور pi.
هذا انعكاس لشمولية الشواش،
الأنظمة متنوعة مثل الأعاصير:
أقمار تدور، نواسات، والقلب البشري،
جميعها تعمل بالطريقة نفسها في مصبات الشواش.
هذا جزء كبير ممّا يسحرني
ويسحر الكثير من الناس حول هذا المجال على ما أعتقد:
هذه الشمولية، وعدد Feigenbaum
هو أول إدراك لك لذلك. لا تأخذ هذا
العدد بعيداً جداً. لاحظ أنّ: 1-D ليس 2-D أو أكثر.
أيضاً، تطبيقات وليست تدفقات. هناك دليلٌ ما
تملكه هذه النتيجة لبعض أبعاد أعلى
ولبعض التدفقات، لكن البرهان لا يمتد
لهم، لذلك قد يكون صحيحاً، لكننا
لا نعلم ذلك بالتأكيد. بالحديث عن التطبيقات ذات
الأبعاد الأعلى، ها هنا مثال عن تطبيق
ثنائي البعد. يدعى Smale's Horseshoe. لا يعمل Smale's Horseshoe
على فاصل الوحدة مثل
التطبيق اللوجيستي. وها هنا
تأثير التطبيق. الشيء الأول هو
أنّه يمتد للمربع ليكون طويلاً،
ثمّ للمستطيل مع نفس الحجم. التأثير
التالي للتطبيق هو أخذ ذلك المستطيل
وطيّه ثمّ قص الكسرات الإضافية.
إذاً، إنّه تطبيق لمربع الوحدة على بعضها
ولديه خاصية مثيرة للاهتمام من أخذ
نقاط متباعدة وتقريبهم لبعض.
في نفس الوقت، إنّه يأخذ بعض
النقاط القريبة من بعضها البعض
ويرسمهم متباعدين جداً عن بعض. التمدد
والطي اللذان ينشآن هذا النموذج
في الشواش. هما السبب في الاعتماد الحساس
على الشروط الإبتدائية. تحدث في التطبيق
اللوجيستي أيضاً لأنّ ذلك التحوّل
التربيعي يعجن فاصل الوحدة.
وعندما أقول "يعجن" لا أعني أنّه
"يحتاج" أعني أنّه "يعجن"
مثل الخبز. وبالحديث عن العجين
والخبز، ها هنا دالة ثلاثية الأبعاد مثيرة
للاهتمام. هذه قطعة من عجينة الخبز مع
القليل من الصبغة الموضوعة عليها.
مثلما في حالة Smale's Horseshoe، يسبب
عجن الخبز نقاط قريبة
لتنتهي بنقاط متباعدة عن بعضها البعض
تنتهي بنقاط قريبة لبعضها البعض. مجدداً، ذلك هو مصدر الاعتماد
الحساس على الشروط الإبتدائية. وإنّه أيضاً
سبب عجن الخبّازين للعجينة. يُظهِر تعاقب
الصور هذا كرة من العجين، مجدداً،
مع القليل من الصبغة عليها،
بعد سلسلة متوالية من تطبيقات دالة
العجن. تأخذ دالة العجن كرة العجين
تلك، تسحقها بالمبسط، تطويها
وتجمعها بشكل كرة مجدداً.
كما تستطيع أن ترى، العمل نحو الأمام من الصورة
في اليسار العلوي، والتي هي الصورة الأولية قبل أي
تكرارات من دالة العجن التي طبّقناها،
للصورة الثانية، الصورة في الوسط العلوي والتي
هي بعد تطبيق واحد لدالة العجن،
تتوزع الصبغة بسرعة جداً عبر
كتلة العجينة. بالطبع، التفكير
بعجينة الخبز كدالة، هو عملية وحيدة
منفصلة، ليست صحيحة تماماً.
ينشأ التأثير باستمرار في الفراغ والزمن
بينما تحرك أيدينا العجينة هنا وهناك باستمرار .
يمكننا أن نفكر بهذا كدالة فقط،
عملية زمن منفصلة، إذا أشحنا بنظرنا
نوعاً ما خلال عملية العجن.
إذا نظرنا فقط إلى العجينة عندما تعود
إلى كرة بعد كل عملية،
مثل تسليط الضوء على
نظام مادي نوعاً ما.
هذا النواس driven damped الذي أنشأته منذ فترة.
عند هذه القوة والتسلسل بالتحديد، الديناميكا
مشوشة - لا تتكرر تماماً أبداً، معتمدة
اعتماداً حساساً على االشروط الإبتدائية، ومع ذلك، لها نمط.
إذا أطفأت الأضواء وسلطت ضوء كشّاف
على النواس، تلاحظه فقط كل ثانية
أو شيئاً من هذا القبيل. ليس لديك أي فكرة عمّا فعله
ما بين الثواني. معلومتك الوحيدة هي
عند هؤلاء الفواصل المنفصلة. وذلك هو الفارق
بين الدالة والتدفق - زمن منفصل مقابل
زمن مستمر.
لقد مررنا بالكثير من المفاهيم
الهامة في الديناميكا غير الخطية في سياق
الدوال. في الوحدة التالية من هذه الدورة،
سوف نمر عبر الكثير
من هؤلاء المفاهيم في سياق
التدفقات. إذاً، يمكنك أن تفكر بهذا مثل النظر
إلى كامل ديناميكا عملية العجن
بينما تسحق العجينة، تطويها، وتجمعها،
بدلاً من النظر إليها فقط في كل مرة تكون كرة
ومن ثمّ تشيح بنظرك بينما تفعل هذا،
وتعود وتنظر.