Φυσικά, εδώ έχουμε ένα ωραίο μοντέλο της NetLogo, που δείχνει τον "κουλοχέρη". Γράφτηκε ευγενικά για μας από τον Εκπαιδευτικό Βοηθό μας
John Balwit. Εάν πατήσω "Reset", μου δείχνει τον "κουλοχέρη" και έχουμε τα τρία εικονίδια με τα "φρουτάκια".
Κατόπιν μπορώ να επιλέξω πόσα τραβήγματα του μοχλού θέλω - θα επιλέξω το "ένα" για αρχή - και να κάνω κλικ στο
"Τράβα το μοχλό Ν φορές". Ο μοχλός τραβιέται μία φορά, παίρνουμε μία καινούργια μικροκατάσταση, τραβιέται άλλη μία - ωπ, εδώ
πετύχαμε τρία όμοια, ήμασταν τυχεροί! Οπότε, μπορούμε να επιλέξουμε την μακροκατάσταση για την οποία ενδιαφερόμαστε.
Θα την ορίσω ως: "τρία όμοια". Ok, ... και μπορώ να ρωτήσω "πόσες φορές είναι πιθανό να το δούμε αυτό, σε, λ.χ.,
1000 προσπάθειες;" Ωραία, ας το υπολογίσουμε αυτό, και θα το κάνω γράφοντας μία σημείωση. Η σημείωση μου θα λέει, φερ' ειπείν,
"Πιθανότητα να δουμε την μακροκατάσταση 'τρία όμοια' " - είπαμε πριν ότι είναι πέντε οι μικροκαταστάσεις που
αντιστοιχούν σε αυτή τη μακροκατάσταση, δηλ. "κεράσι-κεράσι-κεράσι", ¨λεμόνι-λεμόνι-λεμόνι" κλπ, ενώ συνολικά οι πιθανές μικροκαταστάσεις
είναι 125, άρα η πιθανότητα είναι 5 διά 125 - το βάζουμε στην ίδια γραμμή -
η οποία ισούται με 0,04. Άρα αυτή είναι η πιθανότητα, εάν τραβήξουμε μία φορά το μοχλό,
να πετύχουμε τρία όμοια φρουτάκια: Τέσσερα τοις εκατό. Επομένως, ο αναμενόμενος αριθμος φορών που θα
συναντήσουμε την μακροκατάσταση αυτή στις 1000 προσπάθειες, θα είναι ίσος με: την πιθανότητα να συμβεί στη μία φορά, επί το πόσες φορές τραβήξαμε το μοχλό,
το οποίο ισούται με 40. Ας δούμε τώρα πόσο κοντά πέφτουμε στον υπολογισμό - στο τι αναμένουμε, βέβαια υπάρχει και
τυχαιότητα εδώ. Έτσι πατάω "reset" και επιλέγω να τραβήξω το μοχλό 1000 φορές. Μπορούμε και να επιταχύνουμε
λίγο... και βλέπουμε ότι επιβραδύνει κάπως, όταν "πιάνει" jackpot, ώστε
να μπορούμε να δούμε το jackpot - αλλά μπορείτε να δείτε ότι εδώ φαίνεται ο αριθμός των φορών που επιτυγχάνεται η επιθυμητή μακροκατάσταση
- "τρία ίδια" - και εδώ φαίνεται ο αριθμός των φορών που προκύπτει μη επιθυμητή μακροκατάσταση -
σα να λέμε η μακροκατάσταση που "κερδίζουμε" και η μακροκατάσταση που "χάνουμε" -
κι έτσι πειραματικά επαληθεύουμε τη θεωρία μας, που λέει ότι θα πετύχουμε τη μακροκατάσταση περίπου 40 φορές - για την ακρίβεια 46.
Βέβαια, αν το "τρέξουμε" ξανά και ξανά και πάρουμε το μέσο όρο όλων αυτών
των δοκιμών, λογικά θα τείναι να είναι κοντά στο 40. Οπότε, θα μπορείτε
να χρησιμοποιήσετε το μοντέλο αυτό για κάποια προβλήματα για το σπίτι, που αφορούν κάποιες άλλες μακροκαταστάσεις,
τις οποίες θα δουμε λίγο αργότερα. Τώρα ας επανέλθουμε στη συζήτησή μας
περί Εντροπίας και Στατιστικής Μηχανικής. Έτσι θυμηθείτε το μοντέλο μας στη NetLogo, το μοντέλο των δύο αερίων,
όπου είχαμε δύο χώρους στο δοχείο, και ο ένας χώρος περιείχε τα αργά σωματίδια και ο άλλος χώρος περιείχε
τα ταχέα σωμτίδια, και ανοίξαμε ένα κενό στο χώρισμα, και τα δύο είδη άρχισαν να αναμιγνύονται,
οπότε είχαμε την αριστερή εικόνα στην αρχή και τη δεξιά εικόνα στο τέλος, και είπαμε ότι η εντροπία στα αριστερά ήταν
μικρότερη από την εντροπία στα δεξιά, που σημαίνει ότι, από το Δεύτερο Θερμοδυναμικό Νόμο, η εντροπία
αυξήθηκε. Άρα, στην καινούργια μας ορολογία, αυτή των μικρο- και μακρο-καταστάσεων, μπορούμε να πούμε ότι
μία μικροκατάσταση του συστήματος είναι το σύνολο των θέσεων και των ταχυτήτων κάθε σωματιδίου - κάτι ανάλογο δηλαδή
με τη θέση και το είδος κάθε φρούτου στον "κουλοχέρη" μας. Εδώ, στο μοντέλο, έχουμε μία μακροκατάσταση
στην αριστερή εικόνα - όλα τα γρήγορα σωματίδια στα δεξί τμήμα του δοχείου και όλα τα αργά σωματίδια στο αριστερό - και μία
άλλη μακροκατασταση στη δεξιά εικόνα - τα αργά και τα γρήγορα σωματίδια έχουν εντελώς αναμιχθεί.
Άρα, εάν το σκεφτείτε, η μακροκατάσταση στην αριστερή εικόνα αντιστοιχεί σε λιγότερες
πιθανές μικροκαταστάσεις από ό,τι στη δεξιά εικόνα. Δηλαδή, υπάρχουν - στη δεξιά - περισσότεροι τρόποι να
διαταχθούν τα σωματίδια ως προς τις θέσεις και τις ταχύτητες, ώστε να δημιουργήσουν
μία μακροκατάσταση πλήρως αναμεμιγμένων ταχέων και βραδέων σωματιδίων, από τους τρόπους που υπάρχουν για να δημιουργηθεί
μία πιο οργανωμένη μακροκατάσταση, όπως στ' αριστερά. Βέβαια, και εδώ, σε αυτή την πλευρά, υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι
να διαταχθούν μεμονωμένα τα "μπλε" σωματίδια και τα "κόκκινα" σωματίδια, έτσι ώστε
όλα τα ταχέα σωματίδια να είναι στα δεξιά και όλα τα αργά σωματίδια να είναι αριστερά, απλά
υπάρχουν πολύ λιγότερες τέτοιες κατανομές από ό,τι στην περίπτωση που όλα τα σωματίδια αναμιγνύονται
Άρα υπάρχουν πολλές θέσεις που μπορεί να βρεθεί αυτό το κόκκινο ή αυτό το μπλε σωματίδιο,
ώστε να αναμιχθούν όλα - και αυτό αληθεύει για όλα τα διαφορετικά σωματίδια.
Άρα αυτή είναι η ερμηνεία, από πλευράς Στατιστικής Μηχανικής, της υψηλής και της χαμηλής εντροπίας,
και αυτή ταιριάζει πολύ με τη διαισθητική μας αντίληψη περί "πιο ανοργάνωτων" και "πιο οργανωμένων"
καταστάσεων του συστήματος. Αυτό παρέχει μία νέα δυνατότητα διατύπωσης του Δεύτερου Νόμου της Θερμοδυναμικής. Στην
αρχική διατύπωση, είπαμε ότι σε ένα απομονωμένο σύστημα, η εντροπία αυξάνεται συνεχώς
μέχρι να φτάσει μία μέγιστη τιμή, αλλά τώρα έχουμε μία διατύπωση του Δεύτερου Θερμοδυναμικού
Νόμου από πλευράς Στατιστικής Μηχανικής, που λέει ότι, σε ένα απομονωμένο σύστημα, το σύστημα πάντα
οδεύει προς τη μακροκατάσταση που αντιστοιχεί στο μέγιστο αριθμό μικροκαταστάσεων.
Ο ορισμός της εντροπίας κατά τον Boltzmann, έχει χαραχτεί στον τάφο του
στη Βιέννη, οπότε κανείς δεν τον ξεχνά ποτέ. Ο ορισμός αυτός λέει ότι:
η εντροπία S μίας μακροκατάστασης είναι ίση με έναν αριθμό k, επί το φυσικό λογάριθμο - "log"
είναι ο "φυσικός λογάριθμος" - του αριθμού W των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν
σε αυτήν την μακροκατάσταση. Το k ονομάζεται σταθερά του Boltzmann - η σταθερά και ο λογάριθμος χρησιμεύουν απλά
για να προκύπτει η εντροπία σε συγκεκριμένες μονάδες. Άρα, μπορείτε να δείτε τον τύπο ως εξής:
"η εντροπία S ισούται με τον W" ή αλλιώς η εντροπία μιας μακροκατάστασης κατά Boltzmann ισούται, ή είναι ανάλογη, κατά κάποιο, με
τον αριθμό των μικροκαταστάσεων που αντιστοιχούν σε αυτήν την μακροκατάσταση. Άρα η εντροπία είναι ένα μέτρο της μακροκατάστασης
και μετρά το πόσες μικροκαταστάσεις αντιστοιχούν σε αυτήν τη μακροκατάσταση...
Άρα η γενική ιδέα είναι ότι: όσο πιο πολλές μικροκαταστάσεις αντιστοιχούν σε συγκεκριμένη μακροκατάσταση, τόσο πιο πιθανή είναι
αυτή η μακροκατάσταση. Συνεπώς, στον "κουλοχέρη" μας, η μακροκατάσταση "χάνω" είναι πολύ
πιο πιθανή από την μακροκατάσταση "κερδίζω", και είδαμε ότι πολύ περισσότερες μικροκαταστάσεις
αντιστοιχούν στη μακροκατάσταση "χάνεις" από ό,τι στη μακροκατάσταση "κερδίζεις". Διαισθητικά,
υψηλή εντροπία σημαίνει απλά μια πιο πιθανή μακροκατάσταση. Ή, αν πάρουμε το παράδειγμά μας με το ιδανικό αέριο,
είναι πολύ πιο πιθανό ότι θα αναμιχθούν τα μόρια εδώ, εάν το διάφραγμα είναι ανοικτό εδώ, από ό,τι είναι
το να μείνουν στο χώρο που είναι και να αναδιαταχθούν, παραμένοντας τα ταχέα μόρια δεξιά
και τα αργά μόρια αριστερά. Είναι πολύ πιο πιθανόν να αναμιχθούν, και να έρθουν σε αυτήν την κατάσταση,
από ό,τι σε εκείνη την κατάσταση, άρα λέμε ότι αυτή η κατάσταση έχει πιο υψηλή εντροπία από εκείνη.
Τώρα μπορούμε να κάνουμε μια τελική επανα-διατύπωση του Δεύτερου Θερμοδυναμικού Νόμου, χρησιμοποιώντας
ορολογία της Στατιστικής Μηχανικής. Έτσι λέμε ότι: σε ένα απομονωμένο σύστημα,
το σύστημα τείνει να εξελιχθεί προς την πιο πιθανή μακροκατάσταση. Αυτό μπορεί να φαίνεται
ταυτολογία, αλλά στην πραγματικότητα είναι μία από τις πιο βαθιές ιδέες όλης της Φυσικής, και προσδίδει νόημα
στην έννοια του "χρόνου". Θα βρείτε κάποια - προαιρετικά - πράγματα για μελέτη, στη σελίδα μας "Υλικό του Μαθήματος",
τα οποία εντρυφούν πολύ πιο βαθιά στην ιδέα αυτή, από ό,τι μού επιτρέπει εμένα ο χρόνος να κάνω, στα πλαίσια του μαθήματος αυτού.