В предыдущем видео я говорил о
фрактальной размерности различных объектов
таких как береговые линии.
Но я еще не говорил вам как подсчитываютсялись
эти объекты нашего мира.
Мы могли посчитать
фактальную размерность кривой Коха
и треугольника Серпински потому что
это идеальные математические фракталы,
но не объекты реального мира.
Существует множество, вычисленных приблизительно,
фрактальных размерностей в реальном мире
потому что часто можно понять
естественные или созданные человеком системы.
Существует большое количество различных методов анализа
фракталов и книг посвященных этой теме.
Здесь я собираюсь показать тебе один общий
метод для оценки размерности фрактала
коробочный метод подсчета.
Коробочный метод подсчета
тесно связан с этой идеей такоей
как изменения размера линейки
которую вы измеряете как фрактал
вы получаете другую длину когда вы идете дальше
и дальше в к меньшему и меньшему масштаба.
Т.о. коробочный метод рассчета состоит.
Вы берете конкретный объект.
Здесь у меня есть картинка береговой линии Британии.
Т. о. мы перекрываем это изображение
сеткой
Каждая клетка имеет точную длину стороны,
которая в масштабе в котором мы измеряем это изображение.
И что мы считаем
количество клеток в которое
попадает часть береговой линии.
Например эта не попадает в клетку,
даже если она в середине Великобритании,
т.о мы не считаем ее.
Если следовать этой процедуре
и считать количество клеток.
содержащих часть черной линии,
Я получил 36
Длина размера была 10 единиц на каждую клетку.
Сей час я делаю следующий шаг
и увеличиваю размер клетки.
И так я сей час считаю число клеток
но с другим масштабом.
Потому что длина стороны
клетки была больше я получил меньше клеток
содержащих часть этого изображения.
Тогда я хотел бы проделать это снова.
Размер клетки снова больше и равен 12.
Я получил 27 клеток которая содержит часть изображения.
Таким образом, вы продолжаете делать это.
накапливать этот список чисел.
Давайте посмотрим на отношения
между размерностью Хаусдорфа,
о которые мы уже узнали,
и клеточным измерением.
Если вы помните, для размерности Хаусдорфа
у нас были отношения, что являющиеся
количеством копий изображения
от предыдущего уровня.
Если мы возьмем логарифм, такой чтобы
был равен размерности
умноженной на логарифм фактора уменьшения
из предыдущего уровня.
Это может быть показано, что если вы делаете это
коробочным методом, это может быть приблизительно
рассмотрением логарифма от количества клеток
и это равно размерности
умноженной на логарифм 1 на длину стороны
D называется размерностью коробочного подсчета
и если вы хотите увидеть производную от нее
и другие детали связи
между этими размерностями,
посмотрите Часть 4 Fractal Explorer
который является сайтом о фракталах.
На странице с материалами курса
есть ссылка на него.
Сейчас ответим на вопрос
как мы получаем D из наших величин
из количества клеток и
длин сторон.
Хорошо если вы разбираетесь в алгебре
и может заметить что это уравнение
действительно уравнение прямой линии.
Если мы нарисуем график
где расположить оси
логарифм единицы к длине стороны
это значение x,
и ось y логарифм количества клеток.
А D было бы склоном прямой линии.
Т. о. что мы можем сделать мы можем
взять измерения которые мы делаем
каждый уровень для коробочного счета
и мы можем построить каждое измерение на этом график
Т.о. здесь некоторый гипотетические измерения
которые мы могли бы получить,
где количество клеток идет вниз
как длина стороны идет вниз.
Обратите внимание, что длина стороны равна 1,
таким образом, длина стороны идет вверх, когда он идет вниз.
Вы можете видеть, что если это действительно так
они должны составлять прямую линию
наклона измерения.
Таким образом, мы можем оценить измерение
откладывая эти точки
делая наши измерения для клеток
и тогда откладываем эти точки.
Рисуемя через них прямую линию,
выясняем, что наклон этой линии,
и есть наша полученная размерность.
И это примерно то же, что сделал человек
посчитавший такие вещи как
фрактальная размерность береговой линии.