讓我們先來回顧一下我們目前為止所學的內容
觀察Logistic映射的目的是
讓我們瞭解什麼是混沌現象
混沌指對起始狀態非常敏感的看起來隨機的行為
Logistic映射是一個簡單並且完全確定的公式
但當我們反復迭代它的時候，在某些R的取值下，它會表現出這種看起來完全隨機並且對起始值有敏感依耐性的現象
Logistic映射本身絲毫不具備隨機性
下一個x的取值完全由之前x的取值所決定
但我們仍會看到這種隨機現象
這被稱為確定性的混沌
這裏的混沌來自于完全確定的系統或公式
從這裏我們可以明白
對於一個確定性混沌系統來說
完美的預測以及我們之前所看到的拉普拉斯設想中那個確定的、精確地宇宙是不存在的
即使理論上也不可能，因為我們無法知道初始狀態的精確值
這個影響重大的負面結論和量子力學一起掃除了
對19世紀人們對牛頓力學下鐘錶般的宇宙會一直遵循既定的道路可預測地發展下去的樂觀看法
那麼有哪些好消息呢？
動態系統理論嘗試去探索隨時間變化的系統中的普遍原理
經過許多人的努力以及對Logistic映射和其他類似的確定性方程
許多驚人的重要而有用的結果被發現了
我們將其稱之為”混沌中的普遍性(Universality in Chaos)“
也就是廣泛存在於混沌系統中的某些特性
簡單來說，儘管我們無法精確地對混沌系統做出預測
很多混沌系統卻擁有一些可以預測到的普遍特性
讓我們來看看有哪些這樣的性質
回到我們的Logistic映射分支圖
其中反映了由週期倍增到混沌的過程
並且我們看到了不同種類的吸引子 還記得定點吸引子麼？
我們還有週期性吸引子
由此延伸出來的混沌中存在著所謂的”混沌吸引子“
也被稱之為"奇異吸引子
混沌吸引子系統中有一些有趣的結構
其中包括某些系統會重新表現出的週期性的地方
這點非常有趣，不過超出了我們這個課程所囊括的範圍
這裏還有一些令人驚訝的有趣的性質
那就是週期加倍最終變為混沌的現象
也會在很多其他的混沌系統中出現
這種包含了週期加倍現象的混沌系統被稱之為
單峰映射
就像我們現在所看到的Logistic映射一樣
拋物線上有一個峰值
自然界中有許多具有類似現象的系統
他們全部都有週期加倍進而表現出混沌的特性
正弦映射是另外一個表現出單峰性質的映射
它被稱為正弦映射因為它用到了三角函數中的正弦函數
這就是它的圖像
x sub t plus 1 = R/4 sin of (pi x sub t)
就算你已經把三角形忘了個精光也不用擔心
只要把它想做是一個跟Logistic映射一樣可以反復迭代的數學方程就好
注意這裏x不再表示種群數量
我們現在步入了抽象數學方程的領域
只要x可以表示任何東西，只要它取值在0和1之間
一般R/4這項常被寫作希臘字母λ
為了和之前Logistic映射中的R聯繫起來，我任把它寫作R/4
不過只要把它當成一個我們要進行反復迭代的函數就好
我已經把正弦映射編寫成了一個NetLogo模型
可以從課程資料網頁裏下載到
然後你可以看到它也形成了一個拋物線
或者所謂的單峰映射，就跟Logistic函數一樣
它同樣也表現出了週期加倍進而混沌的特性
在課程資料網頁，模型的名字叫做sinemap.nlogo
我們現在已經見過了單峰隱射中的混沌系統所具備的一個普遍特性
那就是週期加倍進而表現出混沌的現象
不過這裏還有另一個更令人驚訝的普遍性質在1970到1980年代
被幾組科學家們發現了
我會通過Logistic映射的分支圖來解釋
在1970年代，物理學家米切爾•費根鮑姆(Mitchel Feigenbaum)深入地研究了這種映射
他盡其所能地精確地測量了分支現象出現的那些點
他發現週期2的分支出現在R=3.0的時候
週期4出現在這個值
週期8是這個值
而週期16是這個值等等
直到最後，當R大約等於3.569946……的時候
我們的週期變成了無窮大，也就是說，我們有了個非週期性的混沌系統
而這個點便被成為“混沌邊緣(the onset of chaos)“
你可能已經發現了，分支在我們增加R的值得過程中變得越來越快
所以從0.24到0.30是很大的一個跨度
從0.30到0.34也有一定距離，不過要短了不少
之後便會越來越短
所以費根鮑姆接下來計算了分支之間距離縮短的速率
縮短速率定義為這個距離與到下一個分支的距離之比
也就是從週期2到週期4分支之間的距離除以
從週期4到週期8分支之間的距離等等
每一個這樣的比值都反映了分支間距離縮短的速率
讓我們來從數學的角度看這些比值
第一個比值是是週期2和週期4分支之間的距離，也就是R2-R1，除以
週期4和週期8分支之間的比值
我們得到4.7514……
這是我們隊分支之間的距離縮短速率的第一個估值
好，接下來我們可以計算下一組資料
用週期4和週期8分支之間的距離除以週期8和週期16之間的距離
我們得到4.656…… 我們可以繼續重複下去
費根鮑姆用一個桌面計算器進行了所有計算，之後他又用了一台快些的電腦
他發現，如果我們不斷計算下去，當Rs變得越來越大的時候
比值開始趨近於4.6692016……
數學中，我們稱之為當n趨近於無窮大時R(n+1)-R(n) 除以 R(n+2) -R(n+1)的極限
如果你不太熟悉極限這個定義，不用擔心
只要注意這裏的這些例子，你就會發現
當我們增加分支數量，我們將會越來越接近這個值
換句話說，每一個新的分支都會比上一個更快這麼多倍出現
這就是費根鮑姆的發現
這個數值現在被稱為費根鮑姆常數
因為他不僅在發現這個值之後從數學上做出了推導
他還建立了一整套理論來證明為什麼這是數學上正確的
他還解釋了任何單峰映射
例如Logistic映射或者正弦映射
都會擁有這同一個的速率
所以這個數值是單峰映射混沌系統的普遍常數
這個數值同樣也在從流體、電路、鐳射、化學反應等許多系統中被實驗觀察到
另一個令人驚訝的事實是
幾乎在費根鮑姆進行這項研究的同一時間，另一個研究團隊也在進行同樣的研究：
法國數學家皮埃爾•科萊(Pierre Collet)和查理斯•特雷斯(Charles Tresser)
他們完全獨立於費根鮑姆
因此，有時候這個共同發現也被稱為
費根鮑姆-克萊-特雷斯理論
總之，讓我們按照對於複雜系統的重要性來談一下我們這單元中所學到的有關動力系統中的混沌的知識
也許其中最重要的是
我們見到了有關從例如Logistic映射這樣非常簡單的決定性法則中延伸出複雜、不可預測的行為的例子
我們還學到了動力系統理論給我們用來描述複雜行為的辭彙
比如”吸引子(attractor)"和"通過週期加倍產生混沌(period doubling route to chaos)"等等
我們已經見過了因混沌系統對初始狀態有敏感依賴性而產生的精確預測所面臨的根本性局限
同時我們也見到了混沌系統中的一些普遍特性
我們將其稱之為"混沌中的秩序"