9.4 Distribuciones de grados libres de escala y de cola larga En esta unidad vamos a cubrir diferentes aspectos y estructuras de las redes llamadas, a menudo, estructuras libres de escala o, más generalmente, estructuras de red de cola larga Aquí tenemos la idea... En esta imagen de una típica estructura, que forma parte de la red WWW Donde los nodos aquí reprsentan a páginas web Y los enlaces representan las ligas entre ellas Pueden ver que son direccionales Una página web direcciona a otra página Pero no necesariamente lo contrario Tambien podemos ver "Hubs" (concentradores) Esta clase de red Páginas que tienen ligas a muchas otras páginas Y, también, los hubs son páginas a las que remiten muchas otras páginas como aquí Bien, Entonces, veamos, en contraste Una red "aleatoria" Entonces, esto es una red aleatoria puede parecer como si un montón de nodos estuvieran colocados en forma aleatoria y conectados entre ellos en forma aleatoria Entonces, observemos la distribución de grados de estos diferentes tipos de redes Aquí tenemos la distribución de grados para una red aleatoria, como esta, Este es un gráfico en el que no he puesto valores pero pueden ver la forma Esta es una curva con forma de campana, también llamada como distribución normal o distribución Gaussiana o, para ser más precisos, realmente se trata de una distribución de Poisson Pero no se preocupen por eso Lo que nos interesa es la forma general de esto Lo que es interesante de las distribuciones para las redes aleatorias es que la mayoría de los nodos tienen el mismo número de enlaces hacia ellos Si observamos quí, en la mitad, Este grado de la mitad es el grado promedio La mayoría de los nodos tienen ese grado Y un número pequeño de nodos tienen un grado muy bajo Un número pequeño de nodos tiene un grado muy alto Y, después de esto, el número de nodos va rápidamente a cero. Ahora, comparemos con la distribución de grados para la red WWW, aproximadamente, Entonces, aquí en esta imagen de la distribución de grados Similarmente a estas barras Excepto que las barras están tan juntas que parece que son una masa negra sólida Podemos pensar que es esta es una clase de gráfica de barras pero las barras estan muy juntas Entonces, esta distribución se ve muy diferente de esta otra distribución Aquí hay un número muy grande de nodos que tienen un grado bajo Y un número muy pequeño de nodos con un grado alto También hay algunas cosas interesante alrededor de esta forma Si grafico esto de, digamos, 1,000 a 10,000 y supongamos que tomo este pequeño cuadro aquí... empezando en 10,000 y, ahora, grafico esta pequeña parte hasta 100,000 pero ahora voy a aumentar esta zona hasta que tenga el mismo tamaño que esta Entonces, hagámoslo... Entonces, aquí tenemos de 10,000 a 100,000 Y lo aumentamos completamente, de tal manera que lo que vemos es el cuadrete que estaba aquí se vuelve grande aquí Ahora, por su puesto, es un número menos de nodos que en la gráfica anterior pero lo que nos interesa es la forma Si aumentamos una pequeña parte de esto la forma se mantiene idéntica Entonces, empezamos en 100,0000 y vamos hasta el millón, la forma se mantiene idéntica Esto suena como en términos de los fractales tenemos... recuerden que un fractal es algo del que toman una pequeña parte y al aumentarla se ve como el objeto original Es algo que es similar a sí mismo en todos los niveles Y la distribución de leyes de potencia es, de hecho, un objeto fractal en la misma forma que lo es una coliflor, un árbol, etc. En este sentido, si tomamos una pequeña parte y la aumentamos tiene la misma forma que el original Entonces esto se llama también una distrinbución "libre de escalas" Y la razón es que esta es la idea de la escala que a toda escala se ve igual y, entonces, se llama "libre de escala" Aquí está la distribución de grados aproximada para la web Se ha reportado, en forma empírica, que el número de nodos con grado k es proporcional al inverso de k al cuadrado Esta clase de expresiones matemáticas se denominan de "ley de potencia" porque incluyen a alguna variable elevada a una potencia Aquí, tenemos el inverso de k al cuadrado que es equivalente a k elevado a la potencia (-2) Si hemos escuchado sobre una distribución "libre de escala", ahora sabemos que es equivalente a una distribución de "ley de potencia" Y lo que importa saber es cuál es ese exponente Entonces, la definición de una red "libre de escala" Es una red con una distribución de grados "libre de escala" o distribución de "ley de potencia" Ahora podemos ver que las redes libres de escla son como fractales Esto es una anbstracta red libre de escalas Es parecida un fractal en cuanto a que tiene hubs, con muchos enlaces salientes o enlaces entrantes, y si escalamos hacia abajo aquí, a este nivel, vemos pequeños hubs En cada escala, podemos ver pequeños y cada vez más y más pequeños hubs que tienen la misma forma, aproximadamente, que el la red original Entonces, tenemos auto-similitud, en cierto grado, dentro de esta red Yamo a esto "similitud con un fractal" Y esto es el por qué tiene tiene una distribución de ley de potencia Y decimos "similar" a una ley de potencia porque en el mundo real las redes no son realmente libres de escala de igual manera como en el mundo real los objetos no son realmente fractales, no son fractales matemáticos, son aproximaciones a los fractales Es la misma cosa con las distrubuciones de grados de una red Debemos apuntar que las redes libres de escala en sí mismas tienen la propiedad de "pequeño mundo" es decir, baja distancia en promedio entre nodos y alto agrupamiento En 1999, Albert Lazlo Barabasi y Reka Albert publicaron un artículo, en la revista "Ciencia", llamado "Emergencia de escalamiento en las redes aleatorias", en el que presentan esta idea de las redes libres de escala a las grandes audiencias y, realmente, similarmente al artículo de Watts and Strogatz, antes mencionado, este artículo disparó el interés en el naciente campo de la ciencia de las redes Barabasi and Albert analizaron muchas redes, vieron los datos empíricos y propusieron que las distrubuciones libres de escala son muy comunes en las redes reales complejas Otros artículos, como este otro de Clauset, Shalizi y Newman, son un poco más escépticos en afirmar que los datos están distribuidos con una ley de potencia Entonces, sólo quiero que estén concientes de que aún hay controversia sobre si las redes realemente son libres de escala o no Evelyn Fox Keller, una bióloga que estudió las redes, dijo, en 2005, que "las actuales afirmaciones sobre la abundancia de las leyes de potencia" son probablemente sobre-estimadas" y es probablemente verdad, pero en general, lo que la mayoría de la gente acepta es que muchas redes del mundo real, probablemente la mayoría de las redes del mundo real, tienen distribuciones de cola larga donde "cola larga" simplemente significa que tiene esta clase de forma con muchos nodos teniendo un grado relativamente bajo en comparación con el número de nodos que tienen un alto grado Y esta distribución se llama de cola larga en la teoría de la probabilidad Porque se observa este tipo de cola Este es el cuerpo y esta es la cola Y esta se llama distribución de cola larga cuya cola sigue, sigue y sigue Y es muy diferente de la curva acampanada de una distribución normal Aquí tenemos una imagen de una distribución normal respecto de la estatura humana y es un bonito ejemplo ya que las personas están colocadas de acuerdo a su altura Con las personas más bajas aquí y las más altas acá y se puede observar que la mayoría de las personas están agrupadas en la mitad Hay poca gente muy baja poca gente muy alta y la mayoría de la gente en el promedio Esta distribución normal no tiene una cola larga ya que llega a cero muy rápido en cada lado Una distribución de ley de potencia o una distribución de cola larga no llega a cero, es decir, tiene una larga cola que arrastra y esto tiene implicaciones verdaderamente importantes para las redes del mundo real