Diamo un'occhiata da vicino all'idea che gli automi cellulari sono sistemi dinamici analoghi alla mappa logistica. Allora, qui c'è un raffronto punto per punto. Nella mappa logistica, abbiamo questa equazione dove il valore di x a t+1 è una certa funzione del valore di x al tempo t. E qui la nostra equazione familiare. Allora, in maniera simile, CA elementari e altri tipi di automi cellulari che abbiamo nel nostro mondo che è la nostra configurazione del reticolo di celle nere e bianche, e la configurazione del reticolo al tempo t+1 è una funzione della configurazione del reticolo al tempo precedente. Qui la funzione è rappresentata dalla regola che è prendere il vicinato e aggiornare la cella centrale. Sia la mappa logistica che CA elementari sono completamente deterministici, non c'è alcun coinvolgimento della casualità. Entrambe reiterano alcuni passaggi i un tempo discreto Nella mappa logistica abbiamo uno stato continuo. Cioè il valore di x è un numero reale, dove gli automi cellulari la configurazione del reticolo è un stato discreto, è la squenza di celle nere e bianche le dinamiche viste della mappa logistica partivano da punti fissi, verso periodici, al caos. Abbiamo visto tutti questi tipi di dinamiche, e in maniera simile nei CA, soprattutto qui negli automi elementari abbiamo visto gli stessi tipi di dinamiche, punti fissi, periodici e caos. Nella mappa logistica, avevamo quello che è chiamato il parametro di controllo, r, cioè come muovevamo r da 0 a 4 vedevamo che le dinamiche del sistema sono partite da punti fissi, e si muovevano in attrattori periodici in un periodo che doppia il percorso tutte strade verso il caos. Allora, cos'è il parametro di controllo per CA elementari o altri? Non è chiaramente il numero di Wolfram. Il numero di Wolfram non ordina i CA in alcun modo che corrisponda al loro comportamento, è arbitrario. Così le persone hanno iniziato a pensare a cosa sarebbe il parametro di controllo che giocherebbe lo stesso ruolo di r, dove come aumentate il valore del parametro, andate in differenti ti di comportamenti dinamici. Chris Langton è uno scienziato dei sistemi complessi che ha lavorato a lungo sugli automi cellulari, e è giunto a quest'idea denominata parametro lambda come parametro di controllo proposto per gli automi cellulari. Per due stati di automi cellulari, il tipo che abbiamo visto, che è ogni cella è o nera o bianca, lambda è definito molto semplicemente come frazione di esisti di stati nero in una tabella di regole. Quindi, per esempio, data questa tabella di regole conteremmo in questa colonna gli stati degli esti, abbiamo 1, 2, 3 4, 5, su un totale di 8. Il lambda qui è cinque ottavi. É una definizione molto semplice, ma Langton è stato capace di mostrare che in alcuni casi il valore lambda di CA era un buono predittore del suo comportamento. L'ipotesi di Langton era che il comportamento tipico di CA con un valore dato di lambda va avanti su questa scala. Da comportamenti in punti fissi a livelli più bassi di lambda, e come lambda aumenta vedremmo comportamenti periodici e poi caotici. Va da sé, poiché CA hanno due stati, bianco e nero sono simmetrici in quello, per esempio, un lambda 0 che significherebbe tutti punti fissi bianchi, è fondamentalmente uguale ad un lambda 1 di tutti punti fissi neri. Quindi se scambiate i colori bianco e nero negli stati aggiornati ottenete lo stesso o equivalente comportamento solo invertendo i colori. Questo è un pochino diverso rispetto ad r in quello abbiamo questa simmetria. Langton ha fatto larghe simulazioni per testare la sua ipotesi ed ha trovato che lambda tende ad esere un predittore migliore del comportamento per gli automi cellulari che non sono elementari, che quelli con una forma più grande di vicinato rispetto a tre celle. Guarderemo alla relazione tra lambda e il comportamento dell'automa cellulare usando un'applet che è stata sviluppata al Dipartimento di Matematica di Hobert and William Smith College. Il link è anche sulla pagine dei materiali del corso. Su questa pagina, potete guardare la simulazione Edge of Chaos. É un'applet in JAVA e ha alcuni complicate opzioni che potete usare. Per renderlo semploce prenderò un nuovo mondo. Avrò un numero di stati a 2, cioà nero e bianco, e avremo la dimensione di vicinato a 5. Quindi ogni cella comunica con due celle in entrambi i lati di esso. Queste sono ancora CA ad una dimensione. Diremo che non c'è nessuna regola che non sia isotropica. Potete leggere a questo proposito sul sito, che significa che andremo ad usare le regole più generali, il mondo è circolare, e così via. Ok, creeremo un mondo, e ora quello che faremo è scorrere lambda con il cursore. Quando lambda è 0 la configurazione casuale iniziale che a malapena vedere qui sempre aggiornato a cosa? Allora, possiamo fare la stessa cosa avendo un nuovo mondo casuale creando una nuova configurazione casuale iniziale, e così via. Allora appena aumentiamo il lambda e vediamo come cambia. Abbiamo punti fissi totalmente bianchi e continuiamo a muoverlo lentamente, ogni volta che lo faccio, la simulazione coglie un nuovo automa cellulare che ha questo valore lambda. Va da sé, c'è più di un automa cellulare con questo valore lambda, ma ne sta prendendo uno a caso. Ora inizio ad ottenere un comportamento periodico, ancora periodico, potrebbe essere un pochino complicato, quindi aumento, aumento, aumento...ok. Allora, un interessante forse più interessante, e buon elemento di confronto è avere, vediamo...iniziare con un punto. Cioè iniziare con una cella, bianca. Va bene, quindi continuo qui, ancora periodico. Ora otterrò qualcosina un po' più complicata. Ok, allora iniziamo a guardarlo un po' più come modello causale o caotico. Muovo un pochino più in su, e così via, fino a muoverlo al centro, e ora le cose sembrano davvero, davvero casuali. Quindi potete giocare con questo, e quello che ha fatto Langton era di implementare la propria versione di questo e fare ampi esperimenti gurdando alle scelte casuali di CA, per vari valori lambda, e ha trovato che il lambda era un chiaro predittore dei tipi di dinamiche che di solito vedete. Ora possono essere alcune configurazioni iniziali che danno comportamenti diversi di altre configurazioni iniziali con lo stesso automa cellulare, ma il suo interesse era sulla media dei comportamenti. Allora, stavo usando la parola caos in maniera un po' vaga. Fino a che punto il comportamento che appare casuale è davvero caotico? Per definizione, ha una dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali? Allora, Norman Packard ha fatto delle ricerche in proposito, e quello che ha fatto era di guardare ai diversi CA, qui con un vicinato di sette celle, cioè ogni cella guarda a tre celle su entrambi i lati. Per ogni valore di lambda, ha provato un numero di CA casualmente selezionati con quel valore di lambda con un numero di condizioni iniziali casuali, ed ha calcolato la media della differenze, il tasso di distribuzione che è la misura della sensibilità alle condizioni iniziali. Fondamentalmente, prendete lo stesso automa cellulare e inizati con condizioni iniziali prossime, forse un po' lontano l'uno dall'altro, una cella nera cambiata in cella bianca, e vedete quanto veloce le due si diffondondo in comportamenti a parte. C'è una misura per questo. Ha tracciato questo come funzione di lambda e trovate qui che avete un comportamento molto ordinato, e qui avete una specie di transizione per un comportamento più caotico, e qui voi avete realemente il caos, con una dipendenza sensibile alle configurazioni iniziali. Invece, ottenete questo tipo di comportamento che Langton ha ipotizzato e Packard ha mostrato nei suoi esperimenti. Packard ha chiamato queste regioni l'Edge of Chaos, cioè il luogo dove le cose non sono completamente ordinate, e ancora non sono completamente casuali, e questo corrisponde più o meno alla Classe 4 di Wolfram, ovvero, questi interessanti CA con una lunga vita, struttre localizzate, come nella regola 110. Quindi in sintesi, CA possono essere visti come sistemi dinamici con diversi tipi di attrattori come punti fissi, periodici, caotici, e qella che possiamo chiamare baluardo (edge) del caos. E queste corrispondono alle quattro classi di Wolfram. Il parametro lambda di Langton è un parametro di controllo proposto che all'incirca indica il tipo di attrattore atteso. Altre persone hanno proposto altri parametri di controllo relativi al lambda che talvolta fanno un lavoro di previsione migliore. Il Gioco della Vita è una Classe 4 di CA. Ha tutte le proprietà che Wolfram ha elencato per la Classe 4 di CA. Ora Wolfram ha ipotizzato che CA della Classe 4 sono capaci di calcolo universale che è qualcosa di cui vi parlerò nella prossima sottounità.