Nesta sub-unidade eu darei alguns exemplos do uso de dimensão fractal em ambos fractais, abstratos e reais

Na sub-unidade anterior, nós derivamos um definição generalizada para dimensão, a qual podemos aplicar a fractais.

A cada nível, olhamos para o logarítmo do número de cópias que existem do objeto na nível anterior...

e o fator redutor no tamanho de um lado ou o segmento do nível anterior.

Usando esta definição, nós calculamos que a dimensão da Curva de Koch era de aproximadamente 1.26.

Agora, se voce não compreendeu como derivamos isto, não se preocupe, porque voce pode continuar usando esta fórmula.

E eu deveria falar que este é apenas um dos vários métodos usados para calcular a dimensão fractal de um objeto.

É chamado de "Dimensão Hausdorff", seguindo o nome do matemático alemão Felix Hausdorff.

Vamos olhar para outro fractal famoso chamado "Triângulo de Sierpinski", que foi proposto pelo matemático polaco Waclaw Sierpinski em 1916.

Para este fractal, vamos começar com o triângulo. Nossa regra para iteração é remover o triângulo formado conectando os pontos médios dos três lados.

Então tomamos o ponto médio de cada um dos três lados do triângulo...

... e conectamos eles juntos e removemos o triângulo resultante.

O que nos resta agora são três triângulos menores, onde o lado de cada um é exatamente a metade do tamanho do lado do triângulo original.

Vamos iterar por mais alguns níveis ... e então iteraremos uma vez mais....

... utilizando a mesma regra para cada triângulo - cada um desses tres triângulos ....

Então agora temos nove triângulos menores, onde cada um dos lados é a metade do tamanho do lado do nível anterior.

E podemos fazer isto outra vez, e depois outra vez...

... e então começamos a ver uma boa e interessante figura.

Agora, considerando nossa definição de dimensão fractal, aqui está uma pergunta teste para voce:

... qual é a fórmula específica para a dimensão fractal dessa figura?

Agora, isto é um pouco complicado, ...

porque o termo no denominador é o fator redutor do lado ...

... não de todo o triângulo.

Então é o fator redutor no tamanho do lado do triângulo, ...

então, lembre-se disso.