Una nozione importante per capire i frattali è quella di dimensione frattale.
Alla scuola elementare abbiamo tutti imparato che le linee hanno una dimensione,
i quadrati e i cerchi hanno due dimensioni e
i cubi e le sfere hanno tre dimensioni.
Questi oggetti geometrici perfetti sono spesso utilizzati dai matematici e dagli scienziati per modellizzare il mondo naturale.
Tuttavia, come dice una frase famosa di Benoit Mandelbrot,
"Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi e la corteccia non è regolare,
né la luce viaggia in linea retta."
Mandelbrot suggerì che i frattali sono un modello migliore del mondo naturale, rispetto alle nostre nozioni geometriche più convenzionali
e tentò di sviluppare una nuova geometria frattale per descrivere la natura.
Per sviluppare questa nuova geometria, dobbiamo esaminare il nostro concetto di dimensionalità.
Vediamo ora cosa intendiamo esattamente con il nostro concetto ordinario di dimensione.
La nostra nozione ordinaria di dimensione è l'estensione di un oggetto in una determinata direzione.
Per esempio, una linea è monodimensionale: si estende un uno spazio a una dimensione.
Un quadrato è bidimensionale: ha due direzioni di estensione.
E un cubo è tridimensionale: tre direzioni di estensione.
Ma dove dovremmo mettere un oggetto come la Curva di Koch?
Beh, è fatta di segmenti rettilinei.
Si potrebbe pensare ad essa come a una sorta di oggetto monodimensionale.
Si potrebbe immaginare di stenderla.
Ma il problema è che più livelli aggiungiamo nel costruirla e più diventa lunga e
e se aggiungete un'infinità di livelli la sua lunghezza diventa infinita.
Quindi tutti queste gobbe e questi avvallamenti la pongono a una via di mezzo tra l'essere monodimensionale e l'essere bidimensionale.
Vi mostrerò perché è così.
È molto strano che qualcosa possa avere una dimensione frazionaria.
Ma se pensate bene a quello che intendiamo precisamente con la dimensone, allora questo avrà un senso.
Guardiamo alla dimensione in una maniera più matematicamente precisa.
Questo è il modo di caratterizzare la dimensone.
Guardate che cosa succede quando continuate a bisecare -- cioè tagliare in due metà uguali -- i lati di linee, quadrati, cubi, eccetera.
Prendete una linea -- questa linea qui. Il mio prossimo passo -- indicato da questa freccia -- è di tagliarla a metà.
Quindi ho tagliato la linea in due parti uguali.
E poi faccio la stessa cosa con un procedimento iterativo.
Prendo questo pezzo di linea, lo taglio in due parti uguali e
prendo questo pezzetto di linea e lo taglio in due parti uguali e così via.
Posso fare la stessa cosa per il quadrato.
Posso prendere questo lato e quest'altro lato e tagliarli in due parti uguali, ottenendo quattro quadratini.
Faccio la stessa cosa prendendo ciascuno dei loro lati e bisecandoli. Ottengo
altri quattro quadratini dal quadratino di partenza, e così via.
Posso continuare a fare questa operazione.
Qui c'è il mio cubo, dove ho preso ciascuna di queste linee e la ho bisecata e ancora bisecata e la stessa cosa quassù.
Si può vedere come questa sia un'iterazione -- una sorta di costruzione di un frattale, se volete.
Ma ora possiamo iniziare a contare e,
nel caso della nostra linea, guardiamo ad un oggetto monodimensionale.
Quando abbiamo bisecato la linea ad ogni livello, abbiamo visto che
ogni livello è formato da due copie grandi la metà del livello precedente.
Per esempio, questo livello qui è formato da due copie del livello precedente.
Queste sono entrambe linee che sono ciascuna la metà della lunghezza.
Similmente, qui, ognuna di queste è la meta della lunghezza di una di queste, e ci sono due copie.
Se guardiamo il quadrato, vediamo che ogni livello è formato da quattro copie di dimensione un quarto rispetto al livello precedente.
Consideriamo questo come il livello originario e qui abbiamo una, due, tre, quattro copie.
Quattro nuovi quadrati, ciascuno dei quali è un quarto della dimensione dell'originale.
Facciamo la stessa cosa qui. Per ognuno di questi quadrati originari abbiamo quattro copie, ciascuna un quarto della dimensione dell'originale.
E così via. E possiamo vedere, ovviamente in dimensione 3, che ogni livello è formato da otto copie di dimensione un ottavo di quella del livello precedente.
Potete provare da soli per un cubo quadridimensionale.
In realtà, potrebbe essere difficile.
Qui potete vedere uno schema e posso dirvi che ogni livello di un cubo quadridimensionale -- o ipercubo --
è composto da sedici copie di dimensione un sedicesimo rispetto a quella del livello precedente.
Adesso è il vostro turno.
Immaginate di avere un cubo in dimensione 20. Di che cosa è composto ciascun livello?
Questa è la domanda per voi nel quiz.