Ein wichtiger Bestandteil um Fraktale zu verstehen ist das Konzept der Fraktal Dimension.
In der Schule haben wir alle gelernt dass Linien 1-Dimensional sind,
Rechtecken und Kreise sind 2D, und
Würfel und Kugeln sind 3D.
Diese perfekten geometrischen Objekte sind oft die Modelle die Mathematiker benutzen um Attribute der Nature zu beschreiben.
Doch wie Benoit Mandelbrot berühmter weise sagte,
"Wolken sind keine Sphären, Gebirge sind keine Zapfen, Küsten sind keine Kreise, und Rinde ist nicht glatt,
und Blitze formen keine Linien."
Mandelbrot schlug vor dass Fraktale ein besseres Model für die Beschreibung der Natur bieten,
und er strebte dafür nach einer neuen Fraktal Geometrie.
Um diese Geometrie zu verstehen müssen wir unser Konzept der Dimension hinterfragen.
Schauen wir uns an was wir normal darunter verstehen.
Konventionell denken wir dass Dimension eine Erweiterung eines Objektes in eine bestimmte Richtung ist.
z.B., eine Linie ist 1D. Es dehnt sich ein-dimensional im Raum aus.
Ein Quadrat ist 2D denn es besitzt zwei Richtungen der Erweiterung.
Ein Würfel ist 3D mit drei Richtungen der Erweiterung.
Doch wie verhält es sich mit der Koch Kurve?
Naja, es besteht aus geraden Linien.
Man mag es vielleicht als 1D beschreiben.
Man kann sich vorstellen es auszustrecken.
Aber das Problem ist, wir wissen dass die Kurve länger wird je mehr Ebenen wir in
betracht ziehen. Mit unendlich vielen Ebenen ist die länge gleich unendlich.
Also all diese kleinen Hubbel und Täler machen es zu etwas zwischen 1D und 2D.
Und ich zeige euch warum.
Dass ist ja eine komische Idee, dass etwas eine fraktionierte Dimension haben könnte.
Doch wenn wir das Konzept der Dimension genauer hinterfragen dann ergibt es Sinn.
Lasst uns das tun, mit mehr Mathematischer Präzision.
Hier ist eine alternative...
Schaut was passiert wenn man kontinuierlich die Seiten einer Linie, eines Quadrates, Würfels usw. halbiert.
Nimm ein Linie - diese hier - und halbiere es.
Also ich schneide die Linie in zwei hälften.
Und ich fahre fort mit demselben iterativen Prozess.
Ich nimm diese sub-Linie, halbiere es, und
nimm dann diese sub-Linie, halbiere es und so weiter.
Ich kann dasselbe für einen Quadrat tun.
Ich kann diese und diese Seite nehmen, sie halbieren, und ich bekomme 4 sub-Quadrate.
Ich wiederhole diesen Vorgang und bekomme
vier weitere sub-Quadrate aus dem Original sub-Quadrat usw.
Ich könnte immer so weiter machen.
Hier ist mein Würfel, ich habe jede Seite genommen und halbiert.
Man bemerke den iterativen Prozess - die Konstruktion eines Fraktals wenn man so will.
Jetzt können wir das Zählen anfangen, und,
für unsere Linie - unser 1D Objekt -
als wir die Linie auf jeder Ebene halbiert haben, sahen wir
dass jede Ebene aus zwei hälften der vorherigen Ebene besteht.
z.B., diese Ebene hier besteht aus zwei Kopien halb so groß wie die vorherige Ebene.
Das sind beides Linien mit der halben Größe.
Hier ist es ähnlich, jedes von diesen ist halb so groß wie eines von diesen, und es gibt zwei Kopien.
Im Falle der Quadrate, sieht man dass jede Ebene aus 4 ein-viertel Kopien der vorherigen Ebene besteht.
Nehmen wir das als das Original, und hier haben wir 1, 2, 3, 4 Kopien.
4 neue Quadrate, und jedes ein-viertel so groß wie das Original.
Wir machen dass gleiche hier. Für jedes der Original Quadrate haben wir vier Kopien.
Usw. Und wir sehen, natürlich, für 3D, dass jede Ebene aus 8 ein-achtel Kopien der vorherigen Ebene besteht.
Ihr könnt dass mit einem 4D Würfel ausprobieren.
Naja, vielleicht wäre das ziemlich schwer.
Aber ihr könnt ein Muster erkennen. Ich nehme es vorweg dass jede Ebene eines 4D Würfels, oder Hypercube,
aus 16 ein-sechzehntel Kopien der vorherigen Ebene besteht.
Jetzt euer versuch.
Angenommen wir haben ein 20 Dimensionales Würfel. Aus wie vielen teilen des Originals besteht jede Ebene?
Das ist eure Frage für das Quiz.