Bună ziua tuturor, această lecție este despre fractali. Fractalii sunt obiecte care sunt auto-similare la scale diferite. Gândiți-vă la un copac, are un trunchi care are ramuri și acele ramuri au alte ramuri care pornesc din ele iar acestea au alte ramuri mai mici ș.a.m.d. Deci acesta este un fractal. S-a dovedit că fractalii reprezintă o modalitate bună de a descrie multe obiecte din natură. În această lecție vom explora fractalii și din punct de vedere vizual și din punct de vedere matematic și voi cerceta rolul jucat geometria fractalilor în legătură cu sistemele complexe. În mod intuitiv fractalii pot fi definiți ca obiecte auto-similare la scale diferite. Este remarcabil cât de multe obiect create de natură au această proprietate. Să vedem un exemplu simplu. Copaci. Copacii sunt fractali, să vă explic acum noțiunea de auto-similitudine. Avem poza unui copac. Acum luăm o parte din poză și tăiem această bucată și o mărim. Vedem că structura care apare în acest fragment mărit din poză este foarte similară cu structura pozei întregi. Să facem același lucru din nou. Luăm parte de poză din pătratul roșu și o mărim. Din nou, structura pe care o vedeți în acest fragment mărit din poză este foarte similară cu structurile din celelalte două poze precedente și observați că a treia poză este doar un fragment mic din poza originală. Acum putem face același lucru din nou. Luăm o parte din a treia poză, o mărim, din nou avem structuri similare cu un copac, deci nu contează cât de departe mergem cu aceste poze până într-un anumit punct luând bucățele din ele mărindu-le vedeți că au structuri foarte similare. Acesta este esența noțiuni de auto-similitudine la scale diferite. Acum, înainte de a trece mai departe, o să fac o adnotare pentru matematicieni. Definiția fractalului este că obiectul este perfect auto-similar la toate scalele posibile. Deci obiectele create de natură despre care vom vorbi sunt doar asemănătoare fractalilor. Nu sunt fractali reali din punctul de vedere al matematicii, dar voi folosi termenul ”fractal” pentru a le descrie. Aceasta este o poză a unei specii de broccoli speciale care are proprietăți de fractal. Vedeți că fiecare din aceste mici buchete de broccoli sunt formate din alte buchete mici care au aceeași structură ș.a.m.d. Nervurile frunzelor sunt fractali așa cum sunt și copacii. Conglomeratele formate din galaxii pot fi fractali. Acesta este un conglomerat format din mai multe conglomerate și dacă mă uit la unul dintre conglomerate acesta este la rândul său un conglomerat ș.a.m.d. Deci conglomeratele de galaxii pot fi fractali. Rădăcinile plantelor au proprietăți care le fac să semene cu copacii. Lanțurile muntoase sunt fractali. Dacă mă uit la unul dintre acești munți și el are vârfuri și văi la fel cum are întregul lanț muntos.. În mod surprinzător Internetul este fractal. Aceasta este o hartă a unei părți din Internet, conexiunile dintre paginile web și puteți vedea, dacă măriți o porțiune mică din ea, că are același tip structură tranzientă care pornește din hub-ul central pe care o are întreaga poză reprezentând Internetul. Deci vom vedea mai încolo, când vom vorbi despre rețele, care este semnificația proprietății de fractal pentru rețele precum Internetul. Aceste sunt exemple minore de obiecte create de natură care seamănă cu fractalii. Vom vorbi puțin despre istorie... mulți matematicieni au studiat noțiuni legate de fractali, precum noțiunea de auto-similitudine sau dimensiunea fractalilor și vom vorbi despre acest subiect ceva mai încolo și vom vedea cum arată obiectele care au dimensiuni fracționale. Asta înseamnă să ne ducem multe secole înapoi în ceea ce privește matematica, dar termenul de ”fractal” folosit pentru a descrie obiecte a fost propus de Benoit Mandelbrot, un matematician din secolul XX. A preluat cuvântul de la rădăcina din latină care se referea la fracturat. Scopul lui Mandelbrot a fost să dezvolte o teorie matematică privind neregularitățile care să descrie mai bine natura. Geometria tipică, matematica privind structurile simple descrie obiecte netede, dar lumea reală constă din obiecte cu multe neregularități ca lanțurile muntoase și conglomeratele de galaxii. ș.a.m.d. Și Mandelbrot ți dat seama că trebuie să adune laolaltă munca depusă de mulți matematicieni în diferite domenii pentru a crea o nouă sub-ramură a matematicii, numită geometria fractalăilor. Exemplul cel mai cunoscut dat de Mandelbrot se referă la măsurarea lungimii unei linii de castă. S-a uitat cu atenție la coasta Marii Britanii din cauza neregularității sale și întrebarea sa a fost: Să presupunem că vrem să îi măsurăm lungimea, ce lungime ar trebui să aibă rigla pe care o vom folosi? Dacă ne uităm aici facem măsurătoarea cu o riglă destul de lungă și avem anumite lungimi: unu, doi, trei, patru, cinci, șase, șapte, opt, nouă, zece, unsprezece, doisprezece. Dar dacă folosim o riglă mai scurtă vom avea o coastă mai lungă. Aici scurtăm linia la jumătate și dacă măsurați avem: unu, doi, trei, patru, cinci, șase, șapte, opt, nouă, zece, unsprezece, doisprezece, treisprezece, patrusprezece, cincisprezece, șaisprezece, șaptesprezece, optsprezece, nouăsprezece, douăzeci, douăzeci și unu, douăzeci și doi, douăzeci și trei, douăzeci și patru, douăzeci și cinci, douăzeci și șase douăzeci și șapte, douăzeci și opt. Iar 28 de două ori și ceva mai mare decât 12, ceea ce înseamnă că lungimea pe care o avem acum este mai mare decât lungimea pe care am obținut-o aici și motivul pentru care se întâmplă acest lucru este faptul că linia mai mică se potrivește mai bine printre colțurile și crăpăturile care există pe coastă. Dacă luăm o riglă și mai mică, o împărțim pe aceasta la jumătate. Vedeți că se potrivește chiar mai bine în mai multe colțuri și crăpături și vom avea o coastă și mai lungă decât cea pe care am măsurat-o aici. Deci care este lungimea reală a liniei de coastă? Dacă luăm o riglă și mai mică vom putea, în mod evident să o potrivim printre toate colțuri și crăpături. Colțurile și crăpăturile, după cum știți, sunt destul de adânci dacă ne focalizăm asupra coastei. Haideți să vedem o versiune a liniei de coastă din poze reale. Am ales linia de coastă a Irlandei. Aceasta este o poză făcută din satelit a Irlandei. Să aplicăm micul nostru joc pe care l-am făcut și în cazul copacului. Luăm o porțiune de coastă, Vedem că este o linie de coastă foarte neregulată, în special aici în partea de sud-vest a Irlandei. Ce voi face acum este să o măresc și acum putem vedea și mai multe colțuri și crăpături. deci ne putem imagina potrivind o riglă mai mică aici și obținând o măsurătoare mai lungă a coastei decât dacă am fi măsurat-o la această scală. Acum pot face același lucru, iau o mică porțiune de aici și o măresc. Am făcut asta pe pagina următoare unde am mărit-o puțin. Am trecut de la poza din satelit la o poză obținută din Google Maps iar acum pot vedea mai multe colțuri și crăpături mici pe linia de coastă. Facem la fel pe bucățica asta de aici. Țineți minte că aceasta nu este aceiași bucată cu această bucată mică de aici. Este o bucățică din cealaltă bucățică care este mărită. Acum nu o puteți vedea la fel de bine, dar puteți vedea chiar mai multe detalii decât aici. Mai multe neregularități la scală mai mică. Putem continua să facem asta din nou și din nou. Aici avem partea asta mărită. Putem vedea și mai multe detalii dacă mărim o părticică din ea. Google Maps nu merge chiar atât de departe, dar vă puteți imagina că dacă ajungeți la o scalaă destul de mică unde voi ca persoane vă puteți uita pe plajă și să vedeți detaliile neregularităților și apoi dacă iau o porțiune mai mică din ea și o aduc la nivelul de percepție al unui crab, crabul ar fi în stare să vadă mai multe detalii decât o persoană, și putem continua așa. Deci răspunsul la întrebarea: cât de lungă este linia de coastă a Marii Britanii sau a Irlandei chiar depinde de lungimea riglei pe care o utilizăm ca să facem măsurătorile. Asta pare a fi contrar față de ce credem în mod normal. Credem că lungimea anumitor obiecte este o noțiune bine definită, au o lungime reală. Dar care este lungimea reală aici?