UNIDADE 3: FRACTAIS

Olá, pessoal, o tema dessa unidade são os fractais.

Fractais são objetos invariantes sob várias escalas.

Pense em uma árvore : ela tem um tronco e galhos e esses galhos têm seus próprios galhos,

que, por sua vez, dão origem a galhos menores, e assim por diante.

Isso é um fractal. Fractais são uma boa forma de descrever muitos objetos da natureza.

Nessa unidade, vamos explorar fractais visualmente e matematicamente.

E vamos ver o papel desempenhado pela geometria fractal nos sistemas complexos.

3.1 INTRODUÇÃO

Fractais podem ser definidos intuitivamente como objetos com autossimilaridade em diferentes escalas.

É impressionante como existem muitos objetos naturais com esse tipo de propriedade.

Vamos ver um exemplo simples: Árvores são fractais.

Deixe-me explicar o conceito de autossimilaridade: vamos ver a imagem de uma árvore.

Agora vamos destacar uma parte dessa imagem, recortá-la e ampliá-la.

Podemos ver que a estrutura dessa parte ampliada é muito similar à estrutura da figura completa.

Vamos fazer isso novamente.

Vamos recortar uma parte dessa figura, usando um retângulo vermelho, e vamos aumentá-la.

Novamente a estrutura que vemos na parte cortada e ampliada, é muito parecida com as duas figuras anteriores.

E notem que essa terceira figura é uma parte muito pequena da figura original.

Agora podemos fazer a mesma coisa de novo: pegue uma parte desa terceira figura, amplie,

novamente, temos estruturas que se parecem com árvores... Não importa o quanto focalizamos um determinado ponto nessas figuras,

podemos continuar ampliando pequenos pedaços da árvore e constatando que eles têm estruturas muito similares.

Esse é o ponto crucial do conceito de autossimilaridade em diferentes escalas.

Agora, antes de prosseguirmos, deixe-me fazer uma pequena observação para todos vocês matemáticos por aí...

A definição real de fractal, significa que é um objeto perfeitamente autossimilar em todas as escalas possíveis.

Assim, os objetos da natureza dos quais falaremos são apenas parecidos com fractais.

Eles não são fractais no sentido matemático.

mas vou continuar usando o termo "fractal" para descrevê-los mesmo assim.

Aqui está uma figura de um tipo especial de brócolis, que tem propriedades fractais. Podemos ver que cada um desses pequenos pedaços de brócolis,

é composto de outros pequenos pedaços de brócolis que têm a mesma estrutura e assim por diante.

Nervos em folhas são fractais do mesmo jeito que árvores são fractais.

Aglomerados de galáxias podem ser fractais. Este é na verdade um aglomerado de aglomerados, e se eu olho para um desses aglomerados,

ele mesmo pode ser um aglomerado e assim por diante. Assim aglomerados de galáxias podem ser fractais.

Raízes de plantas tem propriedades fractais de uma árvore.

Cadeias de montanhas são fractais. Se eu olho para qualquer uma dessas montanhas, ela também tem picos e vales, da mesma forma que a cadeia inteira têm.

Surpreendentemente, a internet mundial é fractal. Este é um mapa de parte da " teia mundial" - as conexões entre as páginas,

e podemos ver que, se dermos um zoom numa pequena parte, ela também terá o mesmo tipo de teia saindo do núcleo central, que toda a "teia mundial" têm.

Assim, veremos depois, quando falarmos sobre redes, o significado das propriedades fractais das redes como a internet.

Estes são uma pequena amostra de alguns objetos parecidos com fractais na natureza.

Para falar um pouco sobre a história, muitos matemáticos estudaram noções relativas aos fractais, tais como a noção de auto-similaridade ou dimensão fractal.

Vamos falar um pouco sobre isso mais adiante, e também sobre como os objetos com dimensão fractal devem parecer. Isso nos leva a alguns séculos em matemática,

mas o termo "fractal" em si mesmo, para descrever esse tipo de objeto, foi cunhado por Benoit Mandelbrot, um matemático do século XX.

Ele tirou esse nome da raiz latina do termo "fragmento".

O obejtivo de Mandelbrot era desenvolver uma teoria matemática da irregularidade, para descrever melhor o mundo natural.

Tipicamente, a geometria, a matemática das estruturas simples, descreve objetos regulares, suaves. mas o mundo real consiste, na verdade, de objetos muito irregulares,

tais como cadeias de montanhas e aglomerados de galáxias e coisas desse tipo.

Mandelbrot se deu conta de que precisava consolidar o trabalho de muitos matemáticos,atuando em diferentes campos para criar um novo sub-ramo da matemática, intitulado de geometria fractal.

O exemplo mais famoso de Mandelbrot é a medida do comprimimento de um litoral. Ele analisou especificamente o litoral da Grã-Bretanha, devido às suas irregularidades.

e seu questionamento era o seguinte:

Suponha que queremos medir seu comprimento, qual o tamanho da unidade que devemos usar?

Bem, olhando aqui estamos medindo com unidades longas. E obtendo um certo número de medidas,

1, 2 ,3 ..., doze. Mas se encolhermos a medida, obteremos na realidade um litoral maior.

Se encolhermos pela metade e contarmos, obtemos 1, 2, 3, ... 28. E vinte e oito é maior que o dobro de doze. E isso significa que comprimento obtido aqui é maior que o comprimento obtido aqui,

e a razão para isso é que as menores réguas podem se adequar melhor aos cantos e recantos do litoral.

Se quisermos usar uma régua menor, cortando essa pela metade, você pode ver que se adéqua melhor aos detalhes do litoral, e nos dá um comprimento maior do que medimos aqui...

Então, qual é o real tamanho do litoral? Se tivermos uma régua ainda menor poderíamos medir mais rugosidades... e como sabemos, as rugosidades se aprofundam à medida que se aproximamos do litoral.

Vejamos uma versão disso em figuras de litorais reais. Aqui escolho o litoral da Irlanda. Então vamos fazer o mesmo que fizemos com nossa árvore.

Pegaremos uma pequena parte do litoral. Vemos que é um litoral bastante irregular ao sudoeste da Irlanda.

Então o que eu vou fazer agora é aumentar, e agora podemos ver mais detalhes.

de modo que podemos imaginar uma régua menor e obter uma medida maior do litoral do a medida na escala de antes.

Agora posso fazer a mesma coisa, recortar uma pequena parte e aumentá-la. Eu faço isso na próxima pagina, aonde eu mostro o zoom.

Agora eu saio da foto de satélite para o Google Maps, e agora posso ver ainda mais detalhes no litoral.

Faça isso com esse pequeno pedaço aqui, que é um pequeno pedaço do pedaço anterior.

E aumente. Não conseguimos ver tão bem agora, mas podemos ver ainda mais detalhes aqui. Mais irregularidades em uma escala menor.

Agora podemos continuar fazendo isso novamente e novamente. Aqui está a parte aumentada. Podemos ver mais detalhes,

e se aumentarmos uma pequena parte disto... o Google Maps não pode realmente chegar tão perto,

mas podemos imaginar que chegamos em uma escala pequena o suficiente para que você, uma pessoa, poderia olhar na praia, vendo essas irregularidades detalhadas.

E se recortarmos uma parte ainda menor disso, Como do ponto de vista de um caranguejo, o caranguejo veria mais detalhes que uma pessoa.

E assim por diante, podemos continuar e continuar.

Então a questão de qual o tamanho do litoral da Grã Bretanha, ou da Irlanda, realmente depende do comprimento da régua que usamos para medir.

Agora, isso parece contradizer o que nós normalmente acreditamos.

Nós pensamos que o tamanho de um objeto é uma noção bem definida, que existe um tamanho "correto".

Mas o que é comprimento real aqui?