Cześć wszystkim. W tej części kursu zajmiemy się fraktalami. Fraktale to obiekty wykazujące samopodobieństwo w różnych skalach. Pomyśl o drzewie - ma pień, który ma gałęzie a te gałęzie same mają gałęzie, które od nich odchodzą, a tamte tak samo i tak dalej Więc, jest to fraktal. Fraktale okazują się bardzo pomoce w opisywaniu wielu obiektów w naturze W tej części kursu, zdejmiemy się fraktalami, zarówno wizualnie jak i pod względem matematycznym a ja pokryję także niektóre z ról odgrywanych przez fraktale w systemach złożonych Fraktale mogą intuicyjnie być zdefiniowane jako obiekty samopodobne w różnych skalach. Uderzające jest to jak wiele naturalnych obiektów posiada tą cechę. Spójrzmy na prosty przykład. Drzewa. Drzewa są fraktalami i pozwólcie mi wyjaśnic pojęcie samopodobieństwa. Weźmy zdjęcie drzewa. Teraz weźmy fragment tego zdjęcie i wytnijmy go i powiększmy. Możesz zauważyć, że struktura powiększonej części obrazka jest bardzo podobna do struktury całego zdjęcia Zróbmy to jeszcze raz. Weźmy fragment obrazka wewnątrz tej czerwonej ramki. i powiększmy go. Znowu, struktura którą możesz zobaczyc wewnątrz tej powiekszonej częsci obrazka wygląda bardzo podobnie do poprzednich dwóch obrazków i zauważ, że ten trzeci obrazek jest bardzo małym fragmentem oryginalnego zdjęcia. Teraz możemy zrobic to samo jeszcze raz. Weźmy cześć tego obrazka i powiększmy - znowu otrzymaliśmy strukturę, która wygląda bardzo podobnie do drzewa, więc nie ma znaczenia jak daleko w dół dojdziesz do pewnego punktu w tych obrazkach, możesz wciąż brac małe fragmenty, powiększac je i widziec, że one mają bardzo podobny rodzaj struktury Jest to klucz w rozumieniu samopodobieństwa na różnych skalach. Teraz, zanim przejdę do dalej, pozwól mi zrobic krótką uwagę dla wszystkich was który czują się lepiej z matmy. Aktualna definicja fraktalu znaczy, że obiekt jest idealnie samopodobny we wszystkich możliwych skalach Tak obiekty, o których będziemy mówic w naturze, są tylko fraktalo-podobne. Nie są prawdziwymi fraktalami w sensie matematycznym, ale zamierzam użyewac tetminu "fraktal" do ich opisu. Więc tu jest obrazek specjalnego rodzaju brokuła, który ma fraktalne właściwości. Możesz zauważyc, że każdy z trych małych wzniesień (// w tym kwiatostanie) składa sie z innych małych wzgórków, które same składają się z tych samych struktur i tak dalej. Nerwy liścia, także są fraktalami w tym sam sposób co drzewa są fraktalami. Gromady galaktykach mogą byc fraktalami. Są to w sumie gromady, gromad o jeśli spojrzec na jakąś gromadę, która może byc gromadą i tak dalej. Więc, gromady galaktyk mogą byc fraktalami. Korzenie roślin, mają podobne do drzew fraktalne właściwości. Łańcuch górskie są fraktalami. Jeśli spojrzę na jedną z tych gór, to także znajdę wzniesienia i doliny w ten sam sposób jak w łańcuchach górskich. Zaskakująco Ogólnoświatowa siec (World Wide Web) jest fraktalem. To jest mapa cześci sieci - połączenia między stronami internetowymi, możesz zauważyć, że jeśli powiększysz małą część to ma one ten sam rodzaj połączeń wychodzącuch z centralnego huba (węzła), tak jak cały obraz sieci. Zobaczymy więc późnie, kiedy będziemy mówili o sieciach znaczenie fraktalnych właściwości sieci takich jak World Wide Web. Jest to mała próbka obiektów podobnych do fraktali występujących w naturze. Pomówmy trochę o historii - wiele matematyków studiowało zagadnienia związane z fraktalami, takie jak zagadnienie samopodobieństwa lub wymiaru fraktalnego i będziemy mówić także trochę o tym później, i także jak mogą wyglądać obiekty posiadające wymiar fraktalny (niecałkowity) Tak więc, wracając wiele wieków temu w matematyce, ale termin "fraktal", został wprowadzony do opisy obiektów przez matematyka Benoit Mandelbrot'a, w XXw., Wziął on nazwę z łaciny oznaczającą - złamany / pęknięty Teraz celem Mandelbrot'a było rozwinięcie teorii matematycznej nierówności, by lepiej opisać naturę. Typowa geometria, matematyka prostych struktur opisuje gładkie obiekty, ale prawdziwy świat w sumie składa się z bardzo nierównych obiektów takich jak łańcuchy górskie lub gromady galaktyk i tak dalej. I Mandelbrot zrozumiał, że potrzebował połączyć pracę wielu różnych matematyków z różnych dziedzin, aby stworzyć nową (pod-)gałąź matematyki, którą nazwał geometria fraktalną. Najbardziej znanym przykładem Mandelbrot'a jest problem mierzenia długości linii brzegowej. Dokładnie spojrzał na linie brzegową Wielkiej Brytanii, z powodu jej nieregularności, a jego pytanie brzmiało: Załóżmy, że chcemy zmierzyć jej długość - jakiego rozmiaru linijki powinniśmy użyć? Jeśli spojrzymy tutaj mierzymy długosc raczej długą linijką i otrzymujemy pewną liczbę jej długości - 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Jeżeli połamiemy linijkę to dostaniemy w sumie dłuższą linie brzegową. Tutaj łamiemy ją na połowę i jeśli zliczysz długości to otrzymasz 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28. I dwadzieścia osiem to więciej niż 2 razy 12, więc to znaczy, że aktualna długość jaką otrzymujemy jest większa niż długość którą otrzymujemy tutaj i powodem tego jest to, że mniejsza linijka lepiej pasuje do wcięć i uwypukleń , zawartych w linii brzegowej. Jeśli weźmiemy jeszcze mniejszą linijkę, powstą z naszej połamanej na pół raz jeszcze. Możesz zobaczyć, że pasuje lepiej do wcięć i uwypukleń i poda nam dłuższą linie brzegową niż tą zmierzoną tu. Więc jaka jest prawdziwa długośc linii brzegowej? Jeśli zmierzymy ją jeszcze mniejszą linijką to oczywiście będziemy mogli lepiej wpasować się w wcięcia i uwypuklenia. Jak wiesz wcięcia i uwypuklenia, pojawiają się wraz z powiększaniem linii brzegowej. Zobaczmy wersję z prawdziwym obrazem linii brzegowej. Tu, wybrałam linie brzegową Irlandii. Tutaj jest zdjęcie satelitarne Irlandii. Zagrajmy więc, jeszcze raz w tą samą grę, co zrobiliśmy już wcześniej z naszym drzewem. Bierzemy mały kawałek linii brzegowej. Widzimy, że to uczciwie pokręcona linia, specjalnie tutaj na zachodnio-południowej części Irlandii. Więc, to co zamierzam teraz zrobić to ją powiększyć i widzimy nawet więcej wcięć i uwypukleń więc, możemy sobie wyobrazić przyłożenie mniejszej linijki do niej i otrzymanie dłuższego pomiaru dla linii brzegowej, niż tą którą byśmy zmierzyli w tej samej skali. Teraz mogę zrobić to samo - wziąć mały kawałek i go powiększyć. Robię to na następnie stronie, gdzie mogę go powiększyć. Teraz przeniosłam się z zdjęcia satelitarnego na zdjęcie z Google maps i teraz widzę nawet więcej małych wcięć i uwypukleń w linii brzegowej. Zróbmy to temu małemu kawałkowi, który jest tutaj. Teraz pamiętaj, że to nie jest ten sam kawałek stąd. To jest mały kawałek, małego kawałka i weź ten mały kawałek i go powiększ. Nie widzisz teraz tego tak dobrze, ale może zobaczyć nawet więcej szczegółów niż tu. Nawet więcej nierówności w mniejszej skali. Teraz może robic to w kółko. Tu jest ta część powiększona. Możemy zobaczyć więcej szczegółów, jeśli powiększymy mniejszą cześć. Mapy Google w sumie nie przybliżają tak bardzo, ale możesz wyobrazić sobie, że możesz zmniejszyć to do takiej skali, gdzie ty jako osoba, możesz zobaczyć plaże i widzieć te szczegółowe nierówności i nawet jeśli spojrzę na jeszcze mniejszy kawałek, to otrzymam perspektywę kraba. Krab zobaczy nawet więcej detali niż człowiek i tak dalej i tak w kółko. Tak więc pytanie: jak długa jest linia brzegowa Wielkiej Brytanii lub Irlandii naprawdę zależy od długości linijki, której użujesz by to zmierzyć. Wydaję się to teraz przeciwne, temu jak normalnie rozumujemy. Myślimy, że długość jakiegoś obiektu ma soją dobrze zdefiniowaną wartość - prawdziwą długość. Ale czym tutaj jest prawdziwa długość?