Ciao a tutti, questa unità è sui frattali. I frattali sono oggetti auto-simili su scale diverse. Pensate ad un albero: ha un tronco con i rami e questi rami hanno altre ramificazioni che partono da essi e queste hanno a loro volta altri rami e così via. Questo è un frattale. I frattali sono un buon modo per descrivere molti oggetti in natura. In questa unità esploreremo i frattali, sia visivamente che matematicamente e io esaminerò [per voi] alcuni dei ruoli giocati dalla geometria frattale nei sistemi complessi. I frattali possono essere definiti intuitivamente come oggetti auto-simili su scale differenti. È impressionante come ci siano così tanti oggetti naturali con questo tipo di proprietà. Vediamo un semplice esempio: gli alberi. Gli alberi sono frattali e permettetemi di spiegare la nozione di auto-similitudine. Prendiamo l'immagine di un albero. Adesso prendiamo una parte dell'immagine, la ritagliamo e la ingrandiamo. Potete vedere che la struttura di questa parte ingrandita dell'immagine è molto simile alla struttura dell'immagine completa. Rifacciamo la stessa operazione. Prendiamo una parte di quest'immagine all'interno di questo rettangolo rosso e ingrandiamola. Ancora, la struttura che potete vedere all'interno di questo ingrandimento dell'immagine è molto simile alle due immagini precedenti e notate che questa terza immagine è una parte davvero piccola dell'immagine originale. Ora possiamo ripetere ancora la stessa operazione. Prendiamo un pezzo di questa terza immagine, lo ingrandiamo: abbiamo ancora strutture che sembrano molto simili ad alberi. Quindi non importa quanto si ingrandisca: fino ad un certo punto -- in queste immagini -- si possono continuare a realizzare piccoli ritagli, ingrandirli e vedere che hanno tipologie di struttura molto simili tra loro. Questo è il punto cruciale della nozione di auto-similitudine su scale diverse. Prima di andare oltre consentitemi di fare una veloce precisazione per tutti i matematici in ascolto. La definizione di frattale dice che l'oggetto è perfettamente auto-simile su tutte le scale possibili. Quindi, gli oggetti di cui stiamo per parlare in natura, sono solo simili ai frattali. Non sono veri frattali in senso matematico, ma utilizzerò comunque il termine "frattale" per descriverli. Questa è un'immagine di una varietà particolare di broccoli, che ha proprietà frattali. Potete vedere che ognuna di queste montagnole del broccolo è costituita da altre montagnole che a loro volta hanno la stessa struttura e così via. Le venature delle foglie sono frattalimnella stessa maniera in cui gli alberi sono frattali. Gli ammassi di galassie possono essere frattali. Questo è un ammasso di ammassi e se avessi guardato uno di questi ammassi, esso stesso sarebbe stato un ammasso e così via. Quindi gli ammassi di galassie possono essere frattali. Le radici delle piante hanno proprietà frattali simili a quelle degli alberi. Le catene montuose sono frattali. Se guardo una qualsiasi tra queste montagne ha picchi e valli simili a quelli di tutta la catena montuosa. Sorprendentemente il World Wide Web è un frattale. Questo è un diagramma di parte del World Wide Web -- le connessioni tra pagine web -- e potete vedere, ingrandendo un piccolo pezzo, che ha lo stesso tipo di punte che escono da un nodo centrale come accade anche per l'immagine completa. Vedremo poi, quando parleremo di reti, l'importanza delle proprietà frattali di reti come il World Wide Web. Questo sono piccoli esempi di alcuni oggetti simili ai frattali in natura. Per parlare un po' di storia - molti matematici hanno studiato le nozioni legate ai frattali, come il concetto di auto-similitudine o dimensione frazionaria e più tardi parleremo anche di questo, oltre che dell'aspetto che dovrebbero avere gli oggetti di dimensione frazionaria. Siamo andati indietro di molti secoli con la matematica, ma il termine "frattale" stesso, per descrivere questi oggetti, fu coniato da Benoit Mandelbrot, un matematico del ventesimo secolo. Prese il nome dalla radice latina di frattura. Lo scopo di Mandelbrot era di sviluppare una teoria matematica della rugosità per descrivere meglio il mondo naturale. La geometria tradizionale, [ovvero] la matematica di strutture semplici, descrive gli oggetti regolari, ma il mondo reale è costituito da oggetti molto corrugati come catene montuose e ammassi di galassie eccetera. E Mandelbrot realizzò che gli serviva, per mettere assieme il lavoro di molti matematici in diversi campi, creare una nuova branca della matematica, chiamata geometria frattale. L'esempio più famoso di Mandelbrot riguarda la misura della lunghezza della costa. In particolare guardava alla costa della Gran Bretagna, per la sua asperità, e la sua domanda era: Supponiamo di voler misurare la sua lunghezza, di quale dimensione dovrebbe essere il righello che andrebbe utilizzato? Se guardiamo in questa zona stiamo misurando con un righello piuttosto lungo e otteniamo un certo numero di lunghezze: uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, undici, dodici. Ma se rimpiccioliamo il righello otteniamo una costa più lunga. Qui lo dimezziamo e se si conta si ottiene uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci, undici, dodici, tredici, quattordici, quindici, sedici, diciassette, diciotto, diciannove, venti, ventuno, ventidue, ventitré, ventiquattro, venticinque, ventisei, ventisette, ventotto. E ventotto è di più di due volte dodici, quindi questo significa che la lunghezza che otteniamo qui è maggiore della lunghezza che otteniamo qui e la ragione di questo è che i righelli più piccoli entrano un po' meglio negli angoli e nelle fessure che vediamo lungo la costa. Se cerchiamo un righello ancora più piccolo possiamo tagliare questo a metà. Si può vedere che entra ancora meglio in ancor più angoli e fessure e ci darà una costa più lunga di quella che abbiamo misurato qui. Quindi quale è la lunghezza della costa? Se utilizziamo un righello ancor più piccolo sarebbe ovviamente possibile farlo entrare in tutti questi altri angoli e fessure. Gli angoli e le fessure, come sapete, continuano a comparire man a mano che ingrandiamo la costa. Vediamo ora un'applicazione di ciò con immagini reali della costa. Scelgo la costa dell'Irlanda. Qui c'è un'immagine satellitare dell'Irlanda. Ora facciamo lo stesso gioco che abbiamo fatto prima con il nostro albero. Prendiamo un piccolo pezzo della costa. Notiamo che questo è una costa moderatamente rugosa, specialmente in questa parte a sud-ovest dell'Irlanda. Vado ad ingrandire il tutto e ora possiamo vedere ancor più angoli e fessure, quindi ci possiamo immaginare di inserire qui un righello più piccolo e di ottenere una misurazione più lunga della costa rispetto a quella che avremmo ottenuto misurandola a questa scala. Ora posso fare la stessa cosa - prendo un pezzo di questa e lo ingrandisco. L'ho messo sulla prossima pagina dove ingrandisco questo pezzo. Adesso sono passata dall'utilizzare un'immagine satellitare ad utilizzarne una di Google maps e posso vedere ancor più piccoli minuscoli angoli e fessure sulla costa. Ora lo faccio a questo pezzo qui. Ricordate che questo non è lo stesso di quest'altro pezzo qui. È un pezzettino di quel pezzo e prendiamo quel pezzo, lo ingrandiamo. Non si vede così bene adesso, ma si possono vedere ancor più dettagli che qui. Ancor più rugosità su scala più piccola. Possiamo continuare a farlo molte volte. Qui c'è il pezzo ingrandito. Avremmo potuto vedere maggiori dettagli se avessimo ingrandito una piccola parte di questo. Google maps non arriva a questo, ma si può immaginare che si possa portare tutto a una scala piccola al punto tale che una persona possa guardare dalla spiaggia e vedere questa rugosità dettagliata e se avessi preso un pezzo ancor più piccolo di questo, avrei ottenuto il punto di vista di un granchio. Il granchio vedrebbe ancor più dettagli della persona e così via e si continua così ancora e ancora. Quindi la domanda di quanto sia lunga la costa della Gran Bretagna o dell'Irlanda dipende davvero dalla lunghezza del righello utilizzato per misurarla. Questo sembra andare contro a ciò che potremmo normalmente pensare. Pensiamo che la lunghezza di un oggetto è una nozione ben definita - che ha una lunghezza reale. Ma qual'è la lunghezza reale qui?