!Hola a todos! Esta unidad es sobre Fractales. Los fractales son objetos, que son auto-similares a diferentes escalas Pensemos en un árbol; los árboles tienen ramas y las ramas tienen subramas que salen de ellas y asi sucesivamente. Eso son fractales; los fractales son útiles para representar varios objetos de la Naturaleza. En esta unidad exploraremos fractales visual y matemáticamente y veremos el rol que juegan la geometría fractal en los sistemas complejos. Los fractales pueden ser definidos intuitivamente como objetos con autosimilaridad en diferentes escalas. Es impactante ver como muchos objetos naturales tienen este tipo de propiedades. Veamos un ejemplo simple. un ejemplo muy simple: Los árboles como fractales permiten explicar la nocion de auto-similaridad tomemos una foto de un árbol Ahora seleccionamos una parte y la cortamos y la aumentamos. Podemos ver que la estructura de de la parte aumentada de la foto es muy similar a la de la estructura en su totalidad de la foto en sí misma. Hagámoslo de nuevo. tomemos una parte de la foto dentro de este cuadrado rojo y aumentémoslo de nuevo. la estructura que vemos dentro de la imagen aumentada de la imagen es muy similar a las dos imagenes previas y notar que la tercera imagen es un trozo muy pequeño de la imagen original. Ahora podemos hacer lo mismo nuevamente tomar una pequeña parte, aumentarla y de nuevo tenemos una estructura que se parece mucho al árbol El caso es que no importa cuantas veces se haga a cierto a cierto en la imagen, siempre es posible tomar un pequeño trozo, aumentarlo y seguir viendo que tiene una estructura similar. Ese es el centro de la noción de auto-similaridad en diferentes escalas. Ahora, antes de seguir, permítanme una nota breve para todos los matemáticos que nos ven. La definición rigurosa de fractales significa que los objetos son perfectamente auto-similares en todas las posibles escalas. Asi que los objetos de los que vamos a hablar en la naturaleza son "como fractales", no son reales como fractales en el sentido matemático, pero voy a usar el termino fractal de todas maneras. Entonces, aquí una foto de tipo de brócoli que tiene propiedades fractales. Pueden ver que cada pequeño monte de brocoli consiste en otros más pequeños, que en si mísmos tienen la misma estructura, y así sucesivamente. Las hojas son fractales lo son en la misma manera en la que los arboles son fractales. Los cúmulos de galaxias pueden ser fractales. De hecho una agrupación de agrupaciones si miramos a uno de estas agrupaciones, son también una agrupación y así sucesivamente. Así, los grupos de galaxias pueden ser fractales. Las raices de las plantas tienen propiedades de fractales como un arbol. Los surcos de las montañas son fractales. Si miramos una de estas montañas también tiene picos y valles del mismo modo en las que Los surcos de las montañas lo tienen. Sorprendentemente la internet (World Wide Web) es también fractal. Este es un mapa de una parte de la WWW - las conexiones entre las páginas y pueden ver si se aumenta una pequeña parte de la red, tiene el mismo tipo de punta saliendo de el conector (hub) central que tiene la toda la red. Veremos luego, que cuando hablamos de redes, el significado de las propiedades fractales en redes tales como la World Wide Web. Estos son algunos pequeños ejemplos de algunas propiedades fractales en objetos de la naturaleza. Hablando de un poco de historia - muchos matemáticos estudiaron las nociones relacionadas con fractales, tales como la noción de auto-similaridad o la dimensión fraccional y hablaremos acerca de eso un poco más adelante y veremos como lucen los objetos con dimension fraccional. Bueno, yendo atrás varios siglos en matemática el término "fractal" en sí para describir tales objetos fue usado por Benoit Mandelbrot, a matemático del siglo 20 El tomó el nombre de la raiz latina para la palabra fracturado. El objetivo de Mandelbro era desarrollar una teoría matemática que a grandes rasgos describiese mejor el mundo natural. En geometría típica, la matemática de estructuras simples describen objetos simples y regulares pero en el mundo real consisten en objetos muy disímles como los surcos de las montañas o agrupaciones de galaxias y así. Mandelbrot se dio cuenta que era necesario juntar el trabajo de muchos diferntes matemáticos de diferentes campos para crear una nueva sub-rama de la matemática llamada geometría fractal. El ejemplo más famoso de Mandelbrot es la nocion de la medición de la linea costera. El particularmente estaba mirando la línea costera de Gran Bretaña, debido a sus irregularidades y su pregunta fue: "Supongamos que queremos medir el largo - que tipo de regla debemos usar?" Bueno, si vemos que estamos midiendo la costa con una regla larga y obtenermos un cierto numero de medidas - una, dos, tres, cuatro cinco, seis, siete, ocho, nueve, diez, once, doce. Pero si encogemos la regla podemos obtener una costa mas larga Aquí la acortamos a la mitad y si la contamos entonces obtenemos uno, dos tres, cuatro, cinco seis siete, ocho, nueve, diez, once, doce trece, catorce, quince, dieciseis, diecisiete dieciocho, diecinueve, veinte, veintiuno, ventidos, ventitrés, veinticuatro, venticinco, venitiseis veintisiete, veintocho. Veintiocho es mas que 2 veces doce así que eso significa que el largo actual que obtuvimos es mas largo que obtenemos y que la razón para esto es que una regla pequeña puede calzar mejor entre los esquinas y estrechos que vemos en la costa. Si usamos una regla mas pequeña que podemos cortar en mitad. Aquí puedes ver que incluso calza mejor en más estrechos y esquinas y esto nos da una linea costera de lo que medimos aquí. Así que cual es el largo de la linea costera? si miramos por una regla aun menor podemos obviamente ser capaces de ponerla en todos esas esquinas y estrechos. Estas esquinas y estrechos, así como sabes, aparecen en tanto vamos acercándonos a la línea costera. VEamos una versión de esto con una costa real. Aquí escogí la costa de Irlanda. Aquí una foto satelital de irlanda Entonces, juguemos al mismo juego aquí que hicimos con el arbol anteriormente. Tomemos un trozo de costa. Lo que vemos es una costa bien arrugada, especialmente sobre la parte sur de Irlanda. Lo que voy a hacer ahora es aumentar esto y ahora podemos ver mas estrechos y esquinas, y podemos imaginar poniendo una regla pequeña aquí y obtener una medición mas grande de la costa que si la medimos a esta escala. Ahora puedo hacer lo mismo - tomar un poco de esto y aumentarlo. Lo hago en la próxima página donde lo puedo aumentar un poco. Ahora me muevo usando una imagen satelital de Google mapas y ahora podemos ver incluso mas pequeños estrechos y pasos de la linea costera. hacemos esto un poco mas aquí Ahora recuerden que este trozo no es el mismo trozo que acá. Es el pequeño pedazo de este pequeño pedazo y tomemos este pequeño pedazo y aumentémoslo. No pueden verlo ahora pero pueden verlo ahora mas en detalle que aquí. Aun mas arrugado en una escala menor. Ahora podemos seguir haciendo esto una y otra vez. Aquí esta la parte aumentada. Podemos ver en mas detalle si aumentamos una pequeña parte de esto. Google mapas no puede ir más alla, pero pueden imaginar ahora que es lo que pueden obtener a una escala más pequeña donde esten ustedes, una persona, si miran a la playa y ven este detalle de arrugas y si yo tomo un trozo aun mas pequeño de esto, obtengo el punto de vista de un cangrejo. EL cangrejo podría ver en mayor detalle que la persona y así sucesivamente y sigue mas y mas. Así que la cuestión es cuanto linea de Gran Bretaña o Irlanda realmente depende del tamaño de la regla que se usa para medirla. Ahora parece tener mas importancia de lo que uno normalmente pensaría. Pensamos que el largo de un objeto es una noción bien definida - que tiene un tamaño real, pero que es "tamaño real"?