Hallo zusammen, in diesem Kapitel geht es um Fraktale. Ein Fraktal ist ein Objekt das auf verschiedenen Maßstäben ähnlich aussieht. Denk an einen Baum - es hat einen Stamm und Äste. Von diesen Ästen gehen weitere Äste hervor, und von diesen wiederum weitere Äste usw. Bäume sind also Fraktale. Viele Naturobjekte können als Fraktale bezeichnet werden. In diesem Kapitel werden wir Fraktale visuell und mathematisch erforschen, und ich werde die Rolle von Fraktal-Geometrie in Komplexen Systemen erläutern. Fraktale sind also Objekte mit einer Selbst-Ähnlichkeit auf verschiedenen Größen-Dimensionen. Es ist bezeichnend wie viele Naturobjekte diese Eigenschaft besitzen. Nehmen wir ein einfaches Beispiel. Bäume. Ich will anhand dieses Beispieles das Konzept der "Selbst-Ähnlichkeit" erläutern. Hier ist ein Bild von einem Baum. Nehmen wir jetzt einen Teil dieses bildes und machen es größer. Man sieht dass es eine Ähnlichkeit gibt zwischen dem Bild vom ganzen Baum, und dem vergrößerten Bild-Teil. Wiederholen wir jetzt diesen Vorgang. Vergrößern wir dieses bild-teil innerhalb vom roten Kasten. Wie vorhin, die Struktur erkenntlich in diesem vergrößertem Bild-Teil hat Ähnlichkeit mit den vorherigen Bildern, und bedenke dass das dritte Bild nur ein kleines Teil vom Original ausmacht. Wiederholen wir diesen Vorgang noch einmal. Vergrößern wir einen Teil dieses dritten Bildes - wiedermals ist die Struktur Baum-ähnlich. Wir könnten diesen Vorgang abermals wiederholen - immer wieder eine kleine Region des vorherigen Bildes vergrößern. Die Struktur würde sich wiederholen. Genau das, ist die Crux vom Selbst-Ähnlichkeits Konzept. Bevor ich weitermache, möchte ich eine Bemerkung für die Mathematiker unter euch machen. Die Eigentliche Definition für Fraktal bestimmt dass die Selbst-Ähnlichkeit perfekt auf allen möglichen Maßstäben ist. Also sind die Naturobjekte die wir in diesem Kurs behandeln lediglich Fraktal-Ähnlich. Es sind streng genommen keine echten Fraktale im Mathematischen Sinn, aber wir werden Sie als solche trotzdem bezeichnen. Dieses Bild zeigt eine besondere Brokkoli Sorte dass Fraktale Eigenschaften hat. Man sieht einzelne Brokkoli Stücke bestehend aus kleineren Stücken die wiederum aus kleineren Stücken bestehen, alle mit derselben Struktur. Ähnlich wie Bäume sind auch die Blätter Venen Fraktale. Galaxienhaufen bilden Fraktale. Dies ist übrigens ein Haufen von Galaxienhaufen, die ja selber aus Anhäufungen von Galaxien bestehen usw. Deshalb können Galaxienhaufen Fraktale sein. Wurzeln haben Fraktale Eigenschaften ähnlich wie Bäume. Gebirgszüge sind Fraktale. Betrachtet man einzelne Berge so sieht man Täler und Spitzen genau wie im ganzen Gebirgszug. Das World Wide Web ist überraschenderweise auch ein Fraktal. Dies ist eine Karte von den Verbindungen zwischen Websites, und wenn man eine kleine Region davon vergrößert sieht man sowas wie einen Spieß dass aus einem Zentrum entspringt, ähnlich wie im ganzen Bild. Wir werden später sehen, wenn wir über Netzwerke sprechen, dass die Fraktal Eigenschaften von Netzwerken - wie das World Wide Web - Signifikant sind. Das war ein kleiner Überblick von Naturobjekten mit Fraktalen Eigenschaften. Ein Historischer Blick - Viele Mathematiker haben Themen rund um Fraktale studiert, zum Beispiel das Konzept der Selbst-Ähnlichkeit oder fraktionierte Dimension. Wir werden diese Themen später aufheben und fragen was die Essenz von Objekten mit fraktionierter Dimension ist. Das Wort "Fraktal" hat sich Benoit Mandelbrot ausgedacht, ein Mathematiker aus dem 20. Jahrhundert. Der Name stammt aus dem Lateinischen für Fraktioniert. Die Motivation Mandelbrot's war es eine Theorie für raue Flächen zu entwickeln um die Natur besser beschreiben zu können. Konventionelle Geometrie, die Mathematik von simplen Strukturen, beschreibt glatte Objekte, aber die Realität besteht aus sehr rauen Objekten wie Gebirge und Galaxienhaufen usw. Mandelbrot begriff dass er die Arbeit von verschiedenen Mathematikern einigen musste um ein neues Mathematik sub-Feld zu ergründen - Fraktal Geometrie. Mandelbrot's berühmteste Beispiel betrifft die Vermessung einer Küstenlinie. Insbesondere war er an der Küstenlänge Groß Britanniens interessiert wegen ihrer Zerklüftetheit. Seine Frage: Angenommen wir würden ihre Länge bemessen, wie groß sollte das Lineal sein für diese bemessung? Also, wenn wir hier schauen benutzten wir ein ziemlich langes Lineal und wir bekommen eine bestimmte Anzahl ihrer Längeneinheit - eins, zwei drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf. Doch benutzten wir ein kleineres Lineal, würden wir eine längere Küstenlinie messen. Hier benutzten wir ein Lineal dass halb so groß ist, und wenn man sie aufzählt - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28. Und 28 ist mehr als zwei mal so viel wie zwölf, was bedeutet dass die eigentliche Länge hier länger ist als hier und der Grund dafür ist dass kleinere Lineale die Details der Küstenkonturen besser erfasst. Wenn wir ein noch kleineres Lineal benutzten sieht man dass es umso besser die Konturen erfasst und eine längere Küste messt als hier. Was ist aber dann die wahre Küstenlänge? Benutzten wir ein noch kleineres Lineal, so würden wir diese weiteren Ecken und Winkeln messen können. Die Ecken und Winkeln, wie ihr wisst, vermehren sich je größer der zoom auf die Küste ist. Lasst uns das mit echten Küsten veranschaulichen. Hier haben wir die Küste von Irland - ein Satellitenbild. Machen wir das gleiche Spiel wie vorhin mit den Bäumen. Wir nehmen ein kleines Stück der Küstenlinie. Man sieht dass es ziemlich Zerklüftet ist, Insbesondere im Süd-Westen Irlands. Also was ich jetzt machen werde ist in diesen Abschnitt einzuzoomen und man sieht mehr Ecken und Winkeln. Wir können uns vorstellen hier ein kleines Lineal zu benutzten und eine längere Messung der Küste zu machen als mit einem größeren Maßstab. Jetzt den Vorgang wiederholen - hier auf eine kleine Region einzoomen. Ich zeige dass auf dem nächsten Bild. Hier wechsele ich von einem Satellitenbild auf ein "Google maps" Bild und ich sehe mehr Ecken und Winkeln in der Küstenlinie. Mach dasselbe hier drüben. Bedenke, es ist nicht die gleiche Region wie hier drüben. Es ist ein kleiner Teil davon - vergrößern wir es. Jetzt kann man es nicht so gut sehen, aber man kann hier mehr Details sehen Noch mehr Rauheit auf dem kleinen Maßstab. Wir könnten dass wiederholen. Hier zoomen wir auf diese Region. Wir könnten noch mehr Details sehen wenn wir auf eine kleinere Region einzoomen würden. Google maps bietet uns nicht diese Option, aber man könnte sich einen Maßstab vorstellen wobei eine Person den Strand betrachtet und die detaillierte Rauheit erfasst, und wenn ich noch einmal einzoome, dann erfasse ich die Perspektive einer Krabbe. Die Krabbe sieht mehr Details als die Person, und es geht immer so weiter usw. Also die Frage wie lange die Küstenlinie Groß Brittaniens oder Irlands ist hängt vom Maßstab des Lineals ab. Das hört sich ein bisschien komisch an. Normal denken wir ja dass die Maßen eines Objektes klar definiert sind - etwas hat eine wahrhafte länge. Doch was ist hier die wahrhafte länge?