A teraz zwiększmy wartość R do 3,1 Zoabczymy teraz coś nieco odmiennego Ok, klikam Go kilka razy i to, co teraz zobaczycie to to, że zamiast stabilizacji w jednym punkcie widzimy oscylacje pomiędzy dwoma różnymi wartościami kiedy x(t)=0,558 to x(t+1)=0,7646 I teraz, jeśli będe klikała Go to dwie wartości pojawią się na zmianę I tak dalej, tak dalej, bez końca Nazywamy to atraktorem periodycznym z okresem wynoszącym 2 Mówimy o okresie równym 2, ponieważ dana wartość powtarza się co dwa kroki Teraz muszę zdefiniować dla Was jeszcze jeden termin termin zwany "stanem" Stan systemu, w tym przypadku, definiowany jest jako wartość dla x(t) oraz x(t+1) To jest ten punkt na wykresie To jest stan systemu Także to, co widzicie na wykresie patrząc na ten punkt to to, że system oscyluje pomiędzy dwoma różnymi stanami Dlatego też nazywamy je atraktorem periodycznym z okresem równym 2 Teraz, załóżmy, że zwiększę R do 3,2 Klikamy Setup. Go. I klikam Go To, co zobaczymy tym razem jest znowu ten sam rodzaj dynamicznych oscylacji ale punkty pomiędzy którymi oscyluje kropka są inne niż te dla poprzedniej wartości R A więc ten system, przy R=3,2 ma ten sam rodzaj dynamiki ten sam rodzaj dynamiki cyklicznej z okresem 2 ale wartości pomiędzy którymi oscyluj system są inne niż te dla R=3,1 Teraz nadajmy R wartość 3,5 Wciskamy Go. Widzimy teraz inny rodzaj zachowania systemu do chwili jego stabilizacji To, co zobaczymy tym razem to oscylacja, ale tym razem będzie to oscylacja pomiędzy czterema różnymi stanami systemu, nie dwoma Sprawdzę, czy mogę to dojrzeć patrząc na błękitną kropkę Jeden. Dwa. Trzy. Cztery Jeden. Dwa. Trzy. Cztery Powtarza się A więc jest to atraktor okresowy z okresem równym 4 Okres nam się wydłużył dwukrotnie I jeśli teraz zwiększalibyśmy R o małe wartości to zauważylibyście, że w pewnym punkcie okres ponownie się podwoi i będziemy mieli atraktor o okresie 8 a potem 16 następnie 32 i tak dalej tak dalej aż w końcu dojdziemy do stanu w którym nie będziemy mieli okresowego atraktora Zobaczymy to przy R równym 4 Zrobię to teraz To co teraz widzimy to że system wygląda jakby zachowywał się losowo [powtórzenia] Więc jeśli nasz wzrost wynosi 4 to okazuje się, że gdy iterujemy system to przewidzenie jego stanów staje się bardzo trudne i de facto, żeby je poznać, musimy przejść przez wszystkie kolejne iteracje System nie stabilizuje się w pewnych określonych wartościach Zamiast tego, staje się przykładem chaosu Przypomnijmy sobie, że chaos oznacza wrażliwość na warunki początkowe Możemy zobaczyć, jak to działa otwierając model o nazwie sensitivedependance.nlogo To model podobny do naszego poprzedniego prócz tego, że dodatkowo pozwala nam zobaczyć wrażliwość na warunki początkowe pozwalając nam rysować wykresy dla dwóch warunków początkowych oraz ich dynamikę Więc mam tu R=4, x0=0,2 jak poprzednio ale teraz mam dodatkowe x0, oraz x0 prym Możecie na nie patrzeć jako na nowe warunki początkowe które będą użyte w symulacji równoległej z innymi warunkami początkowymi która będzie przebiegać w sposób nie wpływający na drugą Każda z nich odbywa się zgodnie z mapą logistyczną Ustawiłam parametry niemal równe Jedyną różnica jest to, że x0 prym różni się od x0 na piątym miejscu po przecinku Robię teraz Setup Widzicie teraz, że mamy czerwoną kropkę która przedstawia x0' (prym) i niebieską, przedstawiającą x0 Niebieska jest ukryta ponieważ znajduje się dokładnie pod czerwoną kropką ponieważ wartości są niemal identyczne Wartość 0,64 po kroku numer 1 jest niemal równa wartości dla po kroku pierwszym tutaj Klikamy Go i widzimy, jak te dwa punkty podążają razem Wciąż nie widzimy niebieskiej kropki Widzimy chaos.. ale po pewnej liczbie kroków tu widzimy, że po 16tu, zaczynają się oddzielać I zobaczycie kiedy pociągnę to dalej [klikanie] Spójrzcie na ten wykres Wykresy błękitny i czerwony rozchodzą się zupełnie aż w końcy wyglądają na zupełnie nieskorelowane To, co tu możemy zobaczyć, to że nawet jeśli zaczniemy z podobnymi wartościami niemal identycznymi To po pewnej liczbie kroków zachowanie tych dwóch różnych systemów będzie wyglądało bardzo, bardzo odmiennie Załóżmy teraz, że nie wiedzieliśmy o tej różnicy na piątym miejscu dziesiętnym To prawdopodobna sytuacja I jesteśmy naukowcami, którzy próbują snuć jakieś prognozy Cóż, czy winniśmy przewidzieć, że system dojdzie do tego stanu? czy też tego? po 44 krokach czasowych? Cóż, nie ma możliwości, by to przewidzieć i pobrzmiewają tu słowa Poincare'go który stwierdził, że "przewidywanie staje się niemożliwe" Znaczenie tego przykładu zostało zwerbalizowane elokwentnie przez biologa Roberta Maya w roku 1976 w jego artukule na temat mapy logistycznej gdzie powiada: "fakt, że proste i deterministyczne równanie (tzn. mapa logistyczna) mogą mieć dynamiczne trajektorie które wyglądają jak losowy szum, ma niepokojące praktyczne implikacje Oznacza, na przykład, że w oczywisty sposób nieregularne wahania w spisie liczebności populacji zwierząt nie muszą koniecznie świadczyć o zmienności nieprzewidywalnego środowiska albo o błędach losowych Mogą po prostu wynikać ze sztywnej deterministycznej relacji wzrostu populacji (to jest mapy logistycznej) "Alternatywnie, można zaobserwować, że w reżimie chaosu" (w naszym wypadku, było to przy R=4) "dowolnie bliskie wartości początkowe" "mogą prowadzić do trajektorii, które po wystarczająco długim czasie się rozbiegają" "Oznacza to, że nawet gdy mamy prosty model" "w którym parametry są dokładnie określone" "długoterminowe prognozy są i tak niemożliwe" Słowa te brzmią jak echo Poincare'go: "Prognozy stają się niemożliwe" To jest jeszcze jedno zobrazowanie dynamiki mapy logistycznej To diagram bifurkacji, a oto co on przedstawia Na osi poziomej mamy R widzieliśmy zachowanie mapy logistycznej dla określonych wartości R Na osi pionowej mamy x -to atraktor, do którego dąży system przy zadanym R Na przykład, kiedy R=2,8 to po iteracji mapy logistycznej i osiągnięciu atraktora stwierdziliśmy, że osiągnięta wartość jest nieco powyżej 6 Przepraszam, powyżej 0,6 Stwierdziliśmy także, że przy pewnej wartości R dynamika systemu zmienia się gwałtownie Na przykład w pobliżu R=3 dynamika zmienia się z punktu stałego w atraktor o okresie 2 I gdy dalej podnosimy R mamy ciągle atraktor okresowy ale o zmieniających się wartościach Podobnie, dla R=3,4 widzimy zmianę z okresu 2 na okres 4 To właśnie reprezentują te wartości a potem okres zmienia sie na 8 Widzicie tą rozgałęziająca się strukturę aż ostatecznie gdzieś przy R=3,55 dynamika przestaje być okresowa i staje się chaotyczna Ta wartość R (powiem Wam później, czym ona jest) nazywana jest "chaosem początkowym" A więc w tej jednostce widzieliśmy jak zachowuje się mapa logistyczna i jak pokazuje ona tak zwaną "drogę do chaosu z podwojeniami okresu" W następnej jednostce, zobaczymy coś zaskakującego o tej "drodze podwajania okresu" i zobaczymy, że pomimo iż systemy chaosu, podobnie jak mapy logistyczne nie są przewidywalne w szczegółach to jednak mają pewne uniwersalne cechy wspólne