Ora alziamo R al valore di 3.1 ora vedremo una cosa un po' diversa ok. Cliccherò "Go" molte volte e quello che vedrete è che invece di assestarsi a un punto fisso vedrete un'oscillazione tra due diversi valori quando xt è 0.558 x(t+1) è 0-7646 Ora se clicco ancora "go", questi due valori si scambiano. e così via per sempre. Questo è detto "attrattore periodico" con periodo due. E' detto "periodo 2" perché ripete se stesso ogni 2 intervalli di tempo. Ora devo definire un altro termine per voi è il termine "stato". Lo stato del sistema, in questo caso, è definito come un valore per xt e x(t+1). E' un punto su questo grafico. Esso è uno stato del sistema. quello che puoi vedere è che, se guardi il punto sul grafico, il sistema oscilla tra 2 diversi stati. Questo è detto "attrattore periodico" di periodo 2. Ora, supponi che io sposti R a 3.2 Set up. Go. E continuo a cliccare su Go. Ciò che vedrò è ancora questo tipo di dinamica oscillante ma i punti precisi tra cui il puntino sta oscillando sono diversi rispetto al precedente valore di R Dunque questo sistema, con R a 3.2 ha lo stesso tipo di dinamica, lo stesso tipo di dinamica periodica di periodo 2 ma i valori esatti di quei 2 stati tra cui oscilla sono diversi rispetto che per R = 3.1 Ora poniamo R a 3.5 e Go. Vediamo un diverso comportamento quando il sistema alla fine si assesta quello che vediamo è un ' oscillazione, ma stavolta risulta che l'oscillazione è tra 4 diversi stati del sistema, non 2. vediamo se osserviamo ciò guardando il puntino blu Uno. Due. Tre. Quattro. Uno. Due. Tre. Quattro. Sta ripetendo se stesso. Quindi questo è un attrattore periodico di periodo 4 Quindi il periodo è raddoppiato. E, se continui a fare questo, a muovere R in su di poco troverai a un certo punto che il periodo raddoppia ancora che si trova un attrattore di periodo 8 e poi un attrattore di periodo 16 e po un attrattore di periodo 32 e così via, fino a che alla fine raggiungiamo uno stato in cui non abbiamo più un attrattore periodico. Possiamo osservare ciò quando portiamo R al caso estremo di 4. Set up. Go. Vedi che il sistema inizia ad apparire piuttosto random. clic così, se il tuo tasso di crescita è 4 ne consegue che quando inizi a iterare il sistema, diventa molto difficile prevedere quale diventerà lo stato del sistema in un istante successivo senza far andare davvero il sistema attraverso tutta la serie di iterazioni. Non si assesta in un pattern ovvio e ordinato Invece, viene fuori un esempio di caos Ora, ricorda che prima ho detto che caos significa dipendenza sensibile da condizioni iniziali Possiamo vedere come funziona se apriamo il modello chiamato sensitivedependence.nlogo E' un modello simile al precedente ma ci permette di vedere gli effetti della dipendenza sensibile a condizioni iniziali facendoci tracciare due condizioni iniziali e la loro dinamica. Qui ho R=4, x0=0.2 , come prima, ma ora ho un altro x0 un x0primo. Si può pensare che questa sia una nuova condizione iniziale che è fatta scattare insieme con quest'altra condizione iniziale anche se non si influenzano a vicenda. Ognuna obbedisce solo alla matematica della mappa logistica. Le ho settate circa uguali. Con l'unica differenza che x0' ha un uno fuori dal quinto decimale. Così, quando faccio "Set up" vedo in realtà che compare un puntino rosso che rappresenta questo x0' e un puntino blu, che rappresenta x0 Ma il puntino blu è nascosto perchè sta proprio sotto quello rosso perchè sono quasi uguali Ed il valore qui, 0.64 per l'stante uno è quasi uguale al valore per l'istante uno, qui. Fai Go e puoi vedere i due puntini viaggiare insieme Non si può ancora vedere il punto blu in questo modo caotico... ma dopo un certo numero di istanti qui solo 16, essi iniziano a separarsi. e si può vedere, se lo traccio ancora un po' .... .... Guarda questo tracciato. La traccia blu e la traccia rossa iniziano ad essere molto diverse e finiscono con l'apparire molto non-correlate Ciò dimostra che anche se parti da condizioni iniziali simili, quasi uguali dopo un certo numero di istanti temporali il comportamento di questi 2 differenti sistemi sarà molto, molto differente. Ora poniamo di non sapere che c'è un .1 qui nel quinto decimale E' possibile. e supponiamo che noi siamo gli scienziati che cercano di fare una previsione Ebbene, predirremmo che il sistema finisca qui? o qui? dopo 40 intervalli di tempo? Bene, è impossibile sapere e questo ci ricorda la frase di Poincaré il quale disse: "la previsione diventa impossibile. Il significato di questo esempio è stato dichiarato in modo eloquente dal biologo Robert May nel 1976 nel suo lavoro sulla mappa logistica disse: "il fatto che l'equazione semplice e deterministica (cioè la mappa logistica) possa avere traiettorie dinamiche che appaiono come rumore random, ha implicazioni pratiche inquietanti. Significa, ad esempio, che fluttuazioni apparentemente irregolari nei dati di censimento di una popolazione animale non hanno bisogno di essere ricondotte ad un ambiente imprevedibile o ad errori di campionamento, esse possono semplicemente derivare da una relazione di crescita della popolazione" rigidamente deterministica (la mappa logistica). "In alternativa si può osservare che nel regime caotico", nel ns. caso con R=4, "condizioni inziali arbitrariamente vicine possono portare a traiettorie che, dopo un tempo "lungo", divergono di molto. Ciò significa che,anche se abbiamo un semplice modello in cui tutti i parametri sono esattamente determinati, la previsione a lungo termine è comunque impossibile." E questa frase ricorda l'affermazione di Poincaré: "La previsione diviene impossibile" Questa è un'altra rappresentazione della dinamica della mappa logistica Questo è un diagramma di biforcazione ed ecco cosa mostra. Sull'asse orizzontale mostra R abbiamo guardato il comportamento della mappa logistica per molti di questi valori sull'asse verticale mostra x-- , attrattore, cui il sistema giunge per un dato valore di R Ad es. quando abbiamo messo R a 2.8 e iterato la mappa logistica fino all'attrattore, abbiamo visto che il valore raggiunto era un po' più di 0.6 Abbiamo poi visto che a certi valori di R la dinamica cambia all'improvviso. Per esempio, vicino ad R=3, la dinamica cambia da attrattore a punto fisso ad attrattore a periodo 2. E poi, aumentando R, troviamo ancora un attrattore a periodo 2, ma solo con valori diversi di attrattore Analogamente, vicino a R=3.4 si vede uno shift da attratt a periodo 2 ad attratt a periodo 4 Questo è ciò che i quattro valori rappresentano. E poi a periodo 8. si vede questa struttura ramificata fino a che alla fine circa a R=3.55, la dinamica smette di essere periodica e diviene caotica. Questo valore di R (e vi dirò qual è tra poco) è chiamato "la soglia del caos". Dunque, in questa subunit abbiamo visto come funziona la mappa logistica e come mostra la cosiddetta "strada verso il caos raddoppiante il periodo" Nella prossima subunit vedremo qualcosa di sorprendente a proposito di specifiche caratteristiche di questa strada raddoppiante il periodo E guardate che anche se i sistemi caotici come la mappa logistica non sono prevedibili in dettaglio, esistono proprietà universali che li accomunano tutti.