Zajmijmy się teraz badaniem dynamiki modelu logistycznego Może pamiętacie, że n z indeksem t+1 przedstawia liczebność populacji w czasie t+1 i równała się iloczynowi wskaźnika urodzeń pomniejszonego o wskaźnik śmiertelności oraz liczebności populacji w czasie t pomniejszonej o liczbę jednostek które zmarły z przyczyny nadmiernego zagęszczenia którą obliczamy jako iloraz populacji w czasie t do kwadratu oraz maksymalnej populacji mozliwej w danym środowisku Zacznę wszystko od zapisu w prostym formacie Po pierwsze, zdefiniuję R jako różnicę wskaźnika urodzeń i wskaźnika śmiertelności Natomiast zmienna k będzie oznaczać maksymalną populację Teraz mogę zapisać powyższe równanie używając poniższych symboli Teraz użyję małej dawki algebry więc jeśli nie lubicie algebry nie zniechęcajcie się jeśli czegoś nie rozumiecie Najważniejsze żebyście zrozumieli wynik końcowy, jaki otrzymamy A więc, mam zamiar podzielić obie strony tego równania przez k czyli przez maksymalną liczebność populacji Chcę zdefiniować jeszcze jeden symbol I będzie to x z indeskem t, które będzie równe n z indeksem t dzielone przez k Teraz moge przepisać nasze ostatnie równanie używając nowego symbolu x To równanie pokazuje ułamek obecnej populacji w stosunku do maksymalnej populacji w danym czasie i wynosi on R pomnożone przez ułamek z poprzedniego kroku minus kwadrat tego ułamka Równanie to znane jest jako mapa logistyczna i wydaje się, że jest to najsłynniejsze równanie w teorii chaosu Przepiszmy mapę logistyczną tutaj dla jasności całego obrazu Naprawdę proste, prawda? Jednakże, równanie to jest ciekawsze niżby się wydawało Wielu ludzi badało je dogłębnie od czasu kiedy zaproponował je Pierre Verhulst Dwóch znanych badaczy, którzy się nim zajmowali to Lord Robert May biolog teoretyczny, który napisał bardzo ważkie artykuły na temat równania w latach 70tych XX wieku oraz Mitchel Feigenbaum- fizyk teoretyczny który wiele pisał na ten temat w latach 80tych również XX wieku i który jest prawdopodobnie najbardziej utożsamianym z tym równaniem w społeczności naukowej Zauważcie, że x jest populacją istniejącą w danym czasie podzieloną przez maksymalną liczebność populacji A więc x jest zawsze liczbą zawartą w przedziale od 0 do 1 to dlatego równanie nazywa się 'mapą' To znaczy, równianie to przekształca wartość x z przedziału (0;1) w nową wartość x w czasie t+1 również z tego samego przedziału Spójrzmy teraz na jakiś przykład Niech, dajmy na to, R wynosi 2 a populacja początkowa przez maksymalną niech wynosi 0,2 co oznacza, że początkowo mamy populację o wielkości 20% maksymalnej Możemy teraz iterować naszą mapę, a więc sięgnijmy po kalkulator i policzmy x z indeksem 1 będzie on równał się 2, to nasza wartość R mnożone przez 0,2 minus 0,2 do kwadratu i według mojej kalkulacji daje nam to 0,32 czyli z 20% maksymalnej populacji przechodzimy do 32% Zobaczmy, co stanie się w roku następnym W następnym roku mamy: 2 pomnożone przez.. teraz bierzemy tą wartość jako naszą poprzednią generację 0,32 minus 0,32 do kwadratu i ostatecznie daje nam to 0,4352 Ok, kontynuujmy to trochę szybciej.. i zawsze od tej chwili będziemy otrzymywać 0,5 jako rozwiązanie To oznacza, że jeśli nasz wzrost R czyli współczynnik urodzeń minus współczynnik śmiertelności, wynosi 2 i zaczynamy od populacji 20% populacji maksymalnej to w tym modelu nasza populacja zawsze osiągnie i będzie utrzymywać 50% maksymalnej populacji Są tu dwie rzeczy, na które należy zwrócić uwagę Po pierwsze, używam terminu 'model' odnosząc się do równania matematycznego to jest do mapy logistycznej to jest nasz model Nazywamy to modelem ponieważ jest uproszczoną reprezentacją rzeczywistego zjawiska wzrostu populacji Także określamy tak programy komputerowe które piszemy, lub których używamy w Netlogo ponieważ również są uproszczeniami rzeczywistych zjawisk Słowo 'model' jest bardzo ogólnym pojęciem w nauce na określenie wszelkiej uproszczonej reprezentacji zjawisk natury czy będzie to równanie, program komputerowy, rysunek, czy coś innego Drugą rzeczą, na którą winniśmy zwrócić uwagę, to to, że wartość 0,5 nazywana jest atraktorem Jest to atraktor w tym systemie, z tego powodu, że system, w pewnym sensie, przyciągany jest do tej wartości I okazuje się, że niezależnie od jakiej wartości początkowej zaczniemy na przykład możemy tę wartość określić na 0,8 System, po pewnej liczbie kroków i tak dojdzie do wartości 0,5 Kiedy system kończy iteracje na pojedynczej wartości, jak w tym wypadku 0,5 ta wartość nazywana jest punktem stałym Ponieważ wartość ta pozostaje stała Dlatego też w tym naszym systemie wartość 0,5 nazywa się atraktorem w punkcie stałym Dotyczy to naszego systemu, określonego tym równaniem, gdzie R=2 Często pojęcia 'model' i 'system' używane są jako synonimy Mam nadzieję, że to nie wprowadza zamieszania Zobaczymy również, w następnym module że możemy otrzymać inne typy atraktorów Na koniec, powiedzmy sobie o innej metodzie wizualizacji mapy logistycznej pokazującej zmienność populacji w trakcie iteracji Chciałabym narysować wykres mapy logistycznej dla R=2 To co tu zaznaczam to x z indeksem t tu natomiast będę miała x z indeksem t+1 Dobrze.. nie jest to wybitny rysunek, ale przedstawia potrzebny nam obraz To parabola Przebiega pomiędzy wartościami 0 i 1 natomiast na osi Y, dla wartości R=2 przyjmuje wartości pomiędzy 0 a 0,5 0,5 jest wartością maksymalną W porządku, zaznaczmy teraz punt 0,5 na osi X I teraz możemy prześledzić kroki, które przeszliśmy poprzednio obliczając kolejne wartości A więc, naszą pierwszą wartością jak pamiętacie, było 0,32 To będzie gdzieś tutaj i wartością Y na paraboli dla tej wartości x było 0,4352 I ten punkt możemy oznaczyć jako (x1,x2) Teraz weźmy naszą wartość dla x2 znajdziemy ją tu, na osi X ponieważ chcemy obliczyć następną wartość naszej funkcji A więc punkt 0,4352 jest gdzieś tutaj i odpowiada mu na paraboli ten punkt i to jest x z indeksem 3 (x3) punkt 0,49160192 I to daje nam punkt (x2,x3) I bierzemy teraz nasz x3 o wartości 0,49160192 zaznaczamy go na osi X a na Y znajdujemy x4=0,49999.. Kontynuujemy ten proces i ostatecznie otrzymujemy dokładną wartość 0,5 na osi X i 0,5 na osi Y I kiedy już dojdziemy do punktu 0,5 system nie idzie już nigdzie indziej i pozostaje w tym punkcie Możemy pomyśleć tu o pewnym przeskakiwaniu od punktu do punktu po paraboli jako o przykładzie dynamiki tego systemu Tu mamy wartość R oraz nasz punkt startowy i serię takich prześć nazywamy trajektorią A teraz pora na następny test Będziecie do tego potrzebować kalkulatora Ustalcie R na 2,5, a x0 na 0,2 Następnie użyjcie równania mapy logistycznej Wstawiając za R 2,5 i zaczynając od x=0,2 i obliczcie proszę x1, x2 itd. aż do osiągnięcia punktu stałego Czym jest ten punkt stały? Tak jak mówiliśmy, jest to taka wartość x dla której x(t+1) jest tą samą wartością