2.4 La Mappa Logistica Ora esploriamo la dinamica del Modello Logistico Ricorda che n con (t+1) è la popolazione al tempo t+1 e che è = a (tasso di nascita meno tasso di morte) moltiplicato per la popolazione al tempo t meno il numero di individui che muoiono per sovraffollamento che è la popolazione al tempo t quadrato diviso la massima popolazione o "capacità di carico". Cominciamo leggendo questo in una forma più semplice. sia R=tasso di nascita-tasso di morte e K=popolazione massima ora posso scrivere l'equazione soprastante usando questi nuovi simboli: n con (t+1) = R (n con t - n con t al quadrato / k) ora facciamo un po' di algebra, se non ti piace, non preoccuparti, conta solo il risultato finale. dividiamo i due termini dell'equazione per K (la "capacità di carico") e adesso definiamo ancora 1 nuovo simbolo x con t = n con t diviso k adesso possiamo ri-scrivere l'equazione così: x con (t+1) = R(x con t - x con t quadrato) questa equazione rappresenta, per il nostro raggruppamento la frazione della capacità di carico ad un dato istante di tempo ed è = a R che moltiplica la frazione al precedente intervallo - la stessa frazione al quadrato. E questa è chiamata la Mappa Logistica. questa è la più famosa equazione nel campo della teoria del caos. Riscriviamo le mappa logistica qui, per chiarezza. riscriviamo la mappa logistica. molto semplice, eh? tuttavia è più interessante di quanto non sembri. Molti hanno studiato questa equazione con attenzione da quando è stata proposta. due esempi importanti furono Lord Robert May un biologo teorico che scrisse un lavoro molto influente negli anni '70 e un fisico teorico Feigenbaum che scrisse molto su questa equazione negli anni '80 ed è forse la persona più nota per questo nella comunità scientifica nota che x è la popolazione a un dato istante, divisa per la capacità di carico o popolazione massima. quindi x è sempre un numero reale tra 0 e 1 questa è la ragione per cui l'equazione è definita una "mappa" cioè PORTA, da UN lato dell'equazione, UN VALORE DI X (TRA 0 E 1) e LO MAPPA IN UN NUOVO valore di X CHE è ANCH'ESSO TRA 0 E 1 Facciamo un esempio. Poniamo R=2 e la popolazione iniziale sia 20% della capacità di carico , cioè X con 0 = 0,2 ora possiamo iterare questa mappa, con la calcolatrice. calcola x con 1 (a video) x con 1 = 2 che moltiplica (0,2 - 0,2 quadrato) con la calcolatrice si trova che ciò è uguale a 0,32. dunque si è andati dal 20% della capacità di carico al 32% di essa. e cosa succede l'anno dopo? (formule a video...) X con 2 = 0,4352 continuando cosi, più velocemente (video) .... .... .... e costantemente, dopo un certo punto, il risultato è 0,5 Significa che: se il tasso di crescita (tasso di nascita - tasso di morte, "R") è uguale a 2, e cominci da una popolazione pari al 20% della capacità di carico, secondo questo modello la popolazione si ferma al 50% della capacità di carico Ci sono 2 cose che devo notare: 1) uso il termine "modello" per indicare un'equazione matematica,la mappa logistica questo è il modello (sottolinea in blu). E' detto modello perchè è una semplice rappresentazione del fenomeno reale della crescita di una popolazione. ci riferiamo anche ai programmi che usiamo in net logo come modelli sono rappresentazioni semplici di fenomeni reali. il termine modello è molto generico nel mondo scientifico, per ogni rappresentaz. semplificata della natura. un'equazione, un programma informatico o altro La seconda cosa da notare è che questo valore 0,5 è detto "attrattore" è un attrattore per il sistema perché il sistema è attratto verso esso. anche se iniziamo con una popolazione iniziale differente ad es. (leggi testo), il sistema tende al valore di 0,5 dopo alcuni steps quando un sistema finisce ad un valore fisso come 0,5 , questo valore è detto punto fisso. questo è il valore a cui il il punto resta fissato cosicchè per questo sistema 0,5 è detto attrattore a punto fisso e in questo sistema, ancora, vale questa equazione con R uguale a 2 spesso il termini modello e sistema sono usati come sinonimi in ogni caso possiamo vedere altri tipi di attrattori nella prossima sub-unit Vediamo i diversi modi in cui possiamo vedere la dinamica della mappa logistica cioè con i cambiamenti reiterati scrivo la mappa logistica per R=2 (vedi schermo) traccio: x con t e x con t +1 è una parabola va tra 0 e 1 qui e qui per R=2, va da 0 a 0,5 che è il punto massimo mettiamo 0,5 sull'asse delle x seguiamo gli steps fatti prima calcolando i valori. il primo è 0,32 (circa qui: vedi schermo) corrisponde sulla parabola y=0,4352 (vedi) prendiamo un valore per x2 e lo troviamo quaggiù sull' asse x perche andiamo a calcolare il prossimo valore della funzione cosi 0,4352 è qui (vedi) e corrisponde a questo punto (vedi) sulla parabola e cosi per x3 ... e cosi via per x4 ... continuiamo a fare questo ed alla fine arriviamo proprio a 0,5 e 0,5 ancora 0,5 - il sistema non va ovunque sta sempre e solamente proprio in questo punto il salto da un punto all'altro lungo la parabola descrive la dinamica del sistema con questi valori (R e punto di partenza) ed è chiamato "traiettoria" ora il quiz. serve la calcolatrice. sia R=2,5 e x con 0 =0,2 - usa l'equazione della mappa logistica. qual è punto fisso?