2.4 Die logistische Abbildung (logistic map) Jetzt werden wir uns die Dynamik des logistischen Modells genauer ansehen. Sie erinnern sich vielleicht, dass n zum Zeitpunkt t+1 die Population zu t+1 ist, und das war die Geburtenrate minus der Sterberate mal der Population zum Zeitpunkt t minus der Zahl der Individuen, die wegen Übervölkerung gestorben sind, das ist die Population zum Zeitpunkt t hoch zwei geteilt durch die Maximalpopulation oder Belastbarkeit. Ich werde das jetzt in einem einfacheren Format aufschreiben. Zuerst ersetze ich Geburtenrate minus Sterberate durch R. K steht für Maximalpopulation. Jetzt kann ich die Gleichung oben mit Hilfe dieser beiden neuen Symbole neu schreiben. Jetzt gibt es ein bisschen Algebra. Wenn Sie Algebra nicht mögen, versuchen Sie einfach, mir zu folgen, und wenn Sie das nicht verstehen, ist das nicht schlimm, Sie müssen nur die letzte Zeile kennen. Ich teile also beide Seiten der Gleichung durch K, die Belastbarkeit und jetzt definiere ich ein weiteres neues Symbol das ist X von t gleich n von t geteilt durch K. Jetzt kann ich diese Gleichung neu schreiben und mein neues Symbol X benutzen. Diese Gleichung repräsentiert den Anteil der gegenwärtigen Population an der Maximalpopulation zu einem bestimmten Zeitpunkt und das ist gleich R mal dem Anteil zum vorausgehenden Schritt minus diesem Anteil zum Quadrat. Und das ist allgemein als logistische Abbidlung (map) bekannt. Das ist die berühmteste Gleichung auf dem Gebiet der Chaostheorie. Lassen Sie uns hier die logistische Gleichung noch einmal zur Erklärung aufschreiben. Ziemlich einfach, hm? Sie ist interessanter als sie erscheint. Viele haben diese Gleichung ausführlich untersucht setdem Verhulst sie aufgestellt hat. Zwei berühmte Vertreter von Wissenschaftlern, die sich damit beschäftigt haben, sind Lord Robert May, ein theoretischer Biologe, der in den siebziger Jahren ein sehr einflussreiches Papier über diese Gleichung verfasst hat, und Mitchell Feigenbaum, ein theoretischer Physiker, der in den achziger Jahren intensiv über diese Gleichung gearbeitet hat. Er ist die Person, die vermutlich am häufigsten unter Wissenschaftlern mit dieser Gleichung in Verbindung gebracht wird. Beachten Sie, dass X die Population zu einem bestimmten Zeitpunkt, geteilt durch die Belastbarkeit oder Maximalpopulation ist. X ist also immer eine reelle Zahl zwischen 0 und 1. Deshalb heißt die Gleichung Abbildung (im Englischen "Map") das heißt, sie nimmt auf dieser Seite einen aktuellen Wert zwischen 0 und 1 an und bildet es auf einen neuen Wert von X ab, der auch zwischen 0 und 1 liegt. Wir schauen uns jetzt ein Beispiel an. R soll 2 sein. Unsere anfängliche Belastbarkeit X Null is 0,2. Das bedeutet, die Anfangspopulation ist 20 Prozent der Maximalpopulation. Wir können diese Abbildung jetzt iterieren. Holen Sie Ihren Taschenrechner raus. Berechnen wir X1 Das ist 2. Das ist der Wert für R. Multipliziert mit 0,2 minus 0,2 zum Quadrat. Ich bekomme hier 0,32 heraus. Wir sind also von 20% der Belastbarkeit auf 32% gekommen. Was passiert im nächsten Jahr? Im nächsten Jahr haben wir 2 mal - hier nehmen wir diesen Wert für unsere vorherige Generation 0,32 minus 0,32 zum Quadrat. Und das ist gleich 0,4352. Wir machen einfach weiter. Aber jetzt ein bisschen schneller. Und in alle Ewigkeit bekommen wir 0,5 als Antwort. Das bedeutet, wenn Ihre Wachstumsrate, das ist die Geburtenrate minus der Sterberate oder R 2 ist, und Sie beginnen mit 20% der Belastbarkeit, wird die Population nach diesem Modell immer bei 50% der Belastbarkeit liegen. Zwei Dinge sollte ich hier betonen. Erstens benutze ich den Begriff Modell hier für eine mathematische Gleichung das heißt, die logistische Abbildung, dies ist das Modell. Es heißt Modell, weil es die vereinfachte Repräsentation des echten Phänomens des Bevölkerungswachstums ist. Ich benutze den Begriff Modell auch, wenn ich die Computerprogramme meine, die wir in NetLogo schreiben, sie sind auch vereinfachte Repräsentationen echter Phänomene. Das Wort Modell ist ein sehr allgemeiner Begriff, der in der Wissenschaft für jede Art von vereinfachter Repräsentation der Natur benutzt wird egal ob es eine Gleichung ist, ein Computerprogramm, eine Zeichnung oder was auch immer. Zweitens, dieser Wert 0,5 heißt Attraktor. Er ist für dieses System ein Attraktor, weil das System irgendwie davon angezogen wird. Das wäre auch so, wenn wir mit einem anderen Angangswert für die Population begonnen hätten, also zum Beispiel X0 gleich 0,8, würde das System immer noch nach einigen Schritten am Ende den Wert 0,5 ergeben. Immer dann, wenn das System auf einen einzigen Wert konvergiert, wie hier 0,5 dann nennt man diesen Wert einen Fixpunkt, weil der Wert stabil bleibt. Für dieses System ist der Wert 0,5 ein Fixpunkt-Attraktor. Und mit System meine ich diese Gleichung mit R gleich 2. Oft werden die Begriffe Modell und System als Synonyme gebraucht. Ich hoffe, das wird jetzt nicht zu verwirrend. Auf alle Fälle werden wir einige andere Arten von Attraktoren, in der nächsten Unterrichtseinheit sehen. Schließlich sehen wir uns noch eine andere Möglichkeit an, die Dynamik der logistischen Abbildung darzustellen. Also, wie sie sich im Lauf der Iterationen verändert. Ich werde hier einen Plot der Gleichung der logistischen Abbildung für R=2 zeichnen Hier zeichne ich X von t und hier ist X von t + 1. Keine tolle Zeichnung, aber so ungefähr sieht es aus. Das ist eine Parabel die hier von 0 bis 1 reicht, für R=2 hier geht sie von 0 bis 0,5, das ist das Maximum. Wir markieren auf der x-Achse 0,5 Jetzt können wir die Schritte, die wir vorhin gemacht haben, als wir die Werte berechnet haben. Unser erster Wert X 1 war 0,32 hier ist X1, und 0,3 ist ungefähr hier der Y-Wert dafür auf der Parabel war 0.4352 das war X2, also hier war Punkt X1X2 Jetzt nehmen wir den Wert für X2 wir finden ihn hier unten auf der X-Achse weil wir den nächsten Wert der Funktion berechnen. 0,4352 ist ungefähr hier und das entspricht diesem Punkt auf der Parabel, das ist X3 0,49160192 Dieser Punkt hier ist X2X3 Dann nehmen wir das alte X3 das war 0,49160192 wir finden den Wert auf der X-Achse und gehen nach oben, um X4 zu finden das war 0,4999999 etc. das machen wir immer wieder, und schließlich kommen wir zu genau 0,5 und 0,5. Wenn beide 0,5 erreicht haben, geht das System nicht weiter. Es bleibt einfach auf diesem Punkt. Sie können sich das vostellen, als würde man von einem Punkt zum anderen hüpfen diese Parabel entlang das ist ein Beispiel für die Dynamik des Systems mit diesem Wert für R und unserem Startpunkt Man nennt das Trajektorie (Bahnkurve) Jetzt ist unser nächstes Quiz an der Reihe. Sie brauchen für dieses Quiz einen Taschenrechner. R soll 2,5 sein und X0 ist 0,2. Verwenden Sie die Gleichung für die logistische Abbildung und setzen Sie 2,5 für R und beginnen Sie mit einem X0 von 0,2 um X1, X2, X3 und so weiter zu berechnen bis Sie den Fixpunkt erreicht haben. Welchen Wert hat dieser Fixpunkt? Und erinnern Sie sich, dass der Fixpunkt ein Wert von X ist, so dass gilt dass X von t dasselbe ist, wie X von t + 1.