Ciao a tutti. La nostra seconda unità riguarda dinamica e chaos. La dinamica è la scienza che studia come mutano le cose. Come ho spiegato precedentemente, un aspetto fondamentale per capire i sistemi complessi è caratterizzare la dinamica, ovvero come il comportamento complesso si manifesta e come cambia nel tempo. Come prima cosa, introdurrò brevemente la storia della dinamica come scienza. Poi, guarderemo al concetto di iterazione e come l'iterazione di semplici comportamenti può dar origine a modelli complessi. Spenderemo un po' di tempo nel trattare la nozione cruciale di non linearità e come interazioni non lineari formino dei sistemi complessi. Guarderemo poi con attenzione un semplice modello di crescita della popolazione che dà origine a comportamenti inaspettati. Spiegherò cosa si intende per "chaos", anche noto come sensibile dipendenza dalle condizioni iniziali. La dinamica è la scienza che studia in generale come i sistemi variano nel tempo. Come esempio mostrerò i tipi di argomenti che la gente studia e classifica della dinamica. La dinamica dei pianeti studia il movimento dei pianeti soggetto alla forza di gravità e caratterizza le relative orbite, deviazioni dalle orbite, eclissi e così via. La dinamica dei fluidi studia il flusso dei fluidi e include lo studio di flussi oceanici, correnti, uragani, nuvole di gas nello spazio, moti d'aria turbolenti, come quelli che si possono provare durante un volo in aereo. La dinamica elettrica studia il flusso di elettricità nei circuiti. La dinamica del clima guarda ai cambiamenti del clima nel tempo, in termini di temperatura, pressione e così via. La dinamica delle folle studia come gruppi di gente agiscono, e le azioni possono essere sia ordinate che avvenire in maniera disordinata, come ad esempio quando qualcuno "Al fuoco!" in una stanza affollata: la gente potrebbe rimanere ostacolata. La dinamica della popolazione guarda ai cambiamenti della popolazione nel tempo, e ne parleremo un po' in questa unità. La dinamica finanziaria studia fenomeni legati ai prezzi delle azioni, o altre attività finanziarie. La dinamica dei gruppi guarda come gruppi di animali o di persone si formano e come lavorano assieme per realizzare un compito. Esistono anche molti studi sulle dinamiche sociali che includono la dinamica dei conflitti e la dinamica della cooperazione (ad esempio, tra nazioni). La dinamica è un campo davvero generale. C'è stato un grande trionfo da parte di matematici e scienziati per riuscire a sviluppare strumenti quantitativi, come ad esempio equazioni differenziali, che possano essere applicati alla spiegazione di così tanti differenti fenomeni . La teoria dei sistemi dinamici è un area generica della matematica che riguarda sistemi dinamici. E' una branca della matematica che descrive come i sistemi cambiano nel tempo, e include molte sottobranche, tra cui: calcolo, equazioni differenziali, mappe iterative, etc. Parleremo di alcune di esse in questa unità. La dinamica di un sistema si riferisce al modo in cui il sistema cambia. La teoria dei sistemi dinamici ci fornisce un vocabolario e un insieme di strumenti matematici per descrivere la dinamica. Lasciatemi prima dare un breve cenno alla storia della teoria dei sistemi dinamici e citare alcuni importanti nomi storici. In Occidente, lo studio della dinamica è cominciato con Aristotele. Aristotele riteneva che ci fossero due insiemi separati di leggi, un insieme per la Terra, dove gli oggetti si muovono in linea retta secondo Aristotele, e solo soggetti a forze, e le cose cadono in terra ad una velocità che dipende dal peso che hanno. E credeva esistesse un insieme separato di leggi fisiche per i cieli. Per esempio, gli altri pianeti e il sole orbitavano in cerchi perfetti attorno alla Terra. Aristotele basava la sua visione su logica e senso comune e alcune osservazioni di base. Non vide la necessità di condurre esperimenti sistematici. Solo dopo un paio di migliaia di anni, gli scienziati cominciarono davvero a porsi delle domande. Niccolò Copernico, per esempio, propose un nuovo insieme di leggi per i cieli. Nella sua teoria, il sole è fisso e i pianeti orbitano attorno ad esso. Galileo fu il pioniere del metodo sperimentale, così come si è interessato dello studio del moto. Egli dimostrò sperimentalmente che la maggior parte delle leggi di Aristotele sul moto non erano valide. Isaac Newton è stato il fondatore della scienza moderna della dinamica. Newton ha scoperto la maggior parte delle leggi che utilizziamo oggi per capire la fisica del moto soggetto alla forza di gravità. Egli propose una visione rivelatasi radicale, per cui le leggi del moto sono le stesse sulla Terra e nell'universo. Cioè, la gravità è una forza universale che agisce allo stesso modo senza distinzione di dove ci si trovi nell'universo. Newton, assieme a Leibniz, inventarono anche la branca della matematica denominata calcolo, che è stata lo strumento principale per studiare come i sistemi cambiano nel tempo e nello spazio. Pierre-Simon Laplace fu un gran sostenitore del riduzionismo e determinismo newtoniano. Qui è mostrata una sua citazione davvero famosa che riassume la sua visione di universo deterministico in cui ogni cosa è nota in principio. Laplace disse: "Possiamo considerare lo stato attuale dell'universo come l'effetto del suo passato e la causa del suo futuro, un intelletto che in un certo momento conosce tutte le forze he pongono la natura in movimento, e tutte le posizioni di tutti gli elementi di cui la natura è composta. Se questo intelletto è anche abbastanza ampio da poter sottoporre questi dati ad analisi egli sarebbe in grado di abbracciare con una singola formula i movimenti dei più grandi corpi dell'universo e quelli del più piccolo atomo. Per tale intelletto niente sarà incerto e il futuro come il passato sarà presente davanti ai suoi occhi. Laplace ha scritto questo nei primi anni del 1800. Potremmo immaginare oggi che l'intelletto possa essere un computer, un supercomputer in grado di modellare tutte le particelle nell'universo ad esempio, e le forze che agiscono su di esse, e di predire ogni cosa. Questa visione della possibilità di predire completamente fu ampiamente accettata fino alla fine del IX secolo e l'inizio del XX. Anche se prima, Henri Poincarè, matematico francese, iniziò ad investigare su possibili motivi per cui tale perfetta predizione possa non essere possibile. Egli fu un pioniere della teoria moderna dei sistemi dinamici del concetto di chaos. Vi mostro la sua più famosa citazione. Poincarè diceva: "Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo nel momento iniziale, noi potremmo predire esattamente la situazione di quello stesso universo in un momento successivo". E fin qui è in linea con ciò che aveva enunciato Laplace. Ma andò oltre: "Anche se si verificasse che leggi naturali non hanno più segreti per noi, noi potremmo ancora conoscere la situazione iniziale solo in maniera approssimata". Se questo ci consentisse di predire la situazione successiva con la stessa approssimazione, questo è tutto ciò di cui abbiamo bisogno e potremmo dire che il fenomeno è stato predetto o che è governato da leggi. Ma non è sempre così. Potrebbe accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali producano grandi cambiamenti nei fenomeni finali. Un piccolo errore nei primi produrranno un errore enorme negli ultimi. La previsione diventa impossibile. Questa citazione presenta il concetto di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Considerate l'idea di Laplace. Se in un preciso istante, voi conoscete la posizione e la velocità esatta di ogni atomo nell'universo, potete utilizzare le leggi di Newton per prevedere esattamente la posizione e la velocità che avranno gli atomi in un preciso istante del futuro. Ma, supponiamo che non conosciamo esattamente le posizioni. Supponiamo che le conosciate con una certa precisione di numeri decimali. Quello che dice Poincare è che ci sono alcuni sistemi, non tutti ma qualcuno, in cui cè una piccola differenza decimale per la posizione o la velocità, allora il calcolo sarà molto diverso dalla realtà. Potrebbe essere la decima posizione decimale, la centesima, la millesima, o comunque quella che si vuole, Il sistema, se è sensibile alle consizioni iniziali, dove le condizioni iniziali, ad esempio, sono le posizioni e le velocità di ciascun atomo, ad un certo istante, e se è sensibile in quel senso, allora non si può conoscere esattamente il valore delle consizioni iniziali, e la previsione diventa impossibile. Il concetto di Poincarè di dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali è illustrata dal famoso effetto farfalla. In questo ipotetico esempio, una piccola farfalla sbatte le ali a Tokio. Questo provoca la modifica della posizione e della velocità di alcune molecole d'aria. Se il sistema nella sua globalità è sensibile alle condizioni iniziali, e i previsori non tengono in conto il battito della farfalla, dopo un po' di tempo le previsioni saranno sbagliate, e la farfalla potrebbe creare un uragano. Non è detto che questo avvenga veramente, o che il tempo sia sensibile alle condizioni iniziali, Poicare dice solamente che ci sono sistemi con questa proprietà, e non sappiamo come sono. Ne vedremo uno più vanti in questa unità. Ora possiamo definire il concetto di caos. Il caos è utilizzato nel linguaggio comune con il significato di disordine, ma nella teoria dei sistemi dinamici, significa qualcosa di specifico. C'è un particolare tipo di dinamica di un sistema. E' un modo in cui il sistema si modifica. E' definito come dipendenza sensibile alle condizioni iniziali. Lo vedremo un po' più precisamente più avanti. Dovreste aver sentito parlare di questo personaggio, il dott. Ian Malcom, che chiese: "Avete mai sentito parlare della teoria del caos? Di equazioni non lineari? Strani attrattori?" Se questo non vi è nuovo, forse lo avete visto veramente. E' stato un personaggio di un libro e di un film, Jurassic Park, negli anni '90. Forse non sapete che il sequel di Jurassic Park, pure scritto da Michael Creighton, e diventato film, si chiamava The Lost World. Una parte è stata girata al Santa Fe Institute. Nel Prologo, "Life at the Edge of Chaos", Creighton scrisse che il Santa Fe Institute è in una serie di edifici su Canyon Road in cui prima c'era un convento. Questo è vero. Le lezioni venivano fatte in una stanza che prima era una cappella. Davvero. Stando sul podio illuminato da un raggio di sole, Ian Malcom, con pause significative durante il discorso, vestito completamente di nero, appoggiandosi a un bastone, Malcom dava un'impressione di severità. Era famoso per i suoi studi non convenzionali e per la sua inclinazione al pessimismo. Il suo discorso intitolato Life at the edge of chaos era tipico di questo modo di pensare. In esso, Malcom presentò il suo studio sulla teoria del caos applicata all'evoluzione. Quando il libro fu pubblicato, e il film uscì, molte persone notarono che c'era un luogo che si chiamava Santa Fe Institute. C'ero a metà degli anni '90, come professore, e un giorno la bibliotecaria del Santa Fe Institute venne a pranzo e si sedette con un gruppo di professori e ricercatori e disse ridendo che qualcuno aveva scritto una lettera chiedendo informazioni sui paper del Professor Ian Malcom Quindi i ricercatori, essendo appunto ricercatori, decisero la cosa ovvia di fare il sito web di Ian Malcom. Ecco il sito web qui al Santa Fe Institute, che ha alcuni paper i suoi interessi e così via, e solo dopo la commissione decise che non era professionale e chiuse la pagina web. Il caos è un argomento molto importante della teoria dei sistemi dinamici e tocca diversi contesti. Potete vedere i diversi argomenti nei quali si parla di caos come l'attività cerebrale, la crescita della popolazione, i dati finanziari, e così via. Vedremo i fenomeni del caos nella crescita della popolazione, in un modello di crescita molto semplice. Risponderemo alla domanda, "Che differenza c'è fra caos e casualità?". Che è una domanda più sottile di ciò che si puà pensare. Lo scopriremo con il concetto di "caos deterministico".