Hallo zusammen. In unserer zweiten Kurseinheit geht es um Dynamik und Chaos. Dynamik ist die Wissenschaft davon, wie sich Dinge verändern. Wie ich vorher beschrieben habe, ist ein fundamentaler Aspekt zum Verständnis von komplexen Systemen die Charakterisierung ihrer Dynamiken. Das heißt, wie sich ihr komplexes Verhalten entfaltet und wie es sich in der Zeit verändert. Zuerst werde ich eine kurze Geschichte der Wissenschaft Dynamik geben. Dann werden wir uns das Konzept der Iteration anschauen und wie die Iteration von einfachem Verhalten zu komplexen Mustern führen kann. Wir werden etwas Zeit damit verbringen, das wichtige Konzept von Nicht-Linearität zu diskutieren und wie nicht-lineare Interaktionen den Kern von komplexen Systemen bilden. Wir werden uns dann tiefer mit einem einfachen Modell von Bevölkerungswachstum beschäftigen, das zu unerwartetem Verhalten führt. Ich werde erklären, was "Chaos" bedeutet, auch bekannt als empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen. Dynamik ist die allgemeine Untersuchung, wie Systeme sich über die Zeit verändern. Ich werde Ihnen ein paar Beispiele von Themen zeigen, die unter der Rubrik von Dynamik untersucht werden. Planetendynamik untersucht die Bewegung von Planeten unter Einfluss der Schwerkraft und charakterisiert ihre Umlaufbahnen, Abweichungen von ihren Umlaufbahnen, Finternisse und so weiter. Strömungslehre untersucht den Fluss von Flüssigkeiten und beinhaltet Dinge wie die Untersuchung von Ozenbewegungen, Hurrikanes, Gaswolken im Weltall und turbulente Luftströmungen von der Art, wie wir sie beim Fliegen in einem Flugzeug erleben könnten. Elektrodynamik untersucht den Fluss von Elektrizität in Schaltkreisen, Klimadynamik betrachtet, wie sich Klima über die Zeit verändert bezüglich Temperatur, Druck und so weiter. "Crowd Dynamics" untersucht, wie Menschenmassen handeln. Dies kann entweder auf geordnete oder ungeordnete Art und Weise geschehen. Wenn zum Beispiel jemand "Feuer" in einem vollen Raum ruft, könnte es sein, dass die Menschen wild wegrennen. Populationsdynamik untersucht, wie sich Bevölkerungen über die Zeit verändern. Wir werden darüber in dieser Kurseinheit ziemlich viel reden. Finanzdynamik betrachtet Phänomene, die im Bezug zu Aktienpreisen oder anderen finanziellen Aktivitäten stehen. Gruppendynamik untersucht, wie sich Gruppen von Tieren oder Menschen bilden und wie sie zusammenarbeiten, um Aufgaben zu erledigen. Es gibt auch Arbeit zu sozialer Dynamik. Dies umfasst die Dynamik von Konflikten und von Zusammenarbeit, zum Beispiel zwischen Nationen. Dynamik ist ein sehr breites Feld. Es war ein großer Erfolg der Mathematik und der Wissenschaft quantitative Werkzeuge zu entwickeln, wie zum Beispiel Differentialgleichungen, die zur Erklärung so vieler verschiedener Phänomene verwendet werden können. Und die Theorie dynamischer Systeme ist das allgemeine Feld der Mathematik, das sich mit dynamischen Systemen beschäftigt, kurz: Es ist der Zweig der Mathematik, der beschreibt, wie sich Systeme über die Zeit verändern und es umfasst viele Unterzweige einschließlich Analysis, Differentialgleichungen, "Iterated Maps" und so weiter. Wir werden über manches davon in dieser Kurseinheit reden. Die Dynamik eines Systems bezieht sich auf die Art, wie sich das System verändert. Die Theorie dynamischer Systeme gibt uns Vokabeln und ein Set von mathematischen Werkzeugen, um Dynamik zu beschreiben. Lassen Sie mich kurz einen historischen Überblic über die Theorie dynamischer Systeme und ein paar der großen historischen Namen geben. Im Westen begann die Untersuchung dynamischer Systeme mit Aristoteles. Aristoteles glaubte, dass es zwei Gruppen von Gesetzen gebe. Eine Gruppe für die Erde, wo Objekte sich in geraden Linien bewegen, laut Aristoteles, und nur wegen Kraft. Dinge fallen auf den Boden mit einer Rate abhängig davon, wie schwer sie sind. Er glaubte, dass es eine andere Gruppe von physikalischen Gesetzen für den Himmel gebe. Zum Beispiel umkreisen andere Planeten und die Sonne die Erde in perfekten Kreisen. Aristoteles gründete seine Ansichten auf Logik und gesunden Menschenverstand und einige naive Beobachtungen. Er sah keine Notwendigkeit, systematisch Experimente durchzuführen. Erst nach ein paar tausend Jahren begannen Leute, seine Ansichten zu hinterfragen. Nikolaus Kopernikus hat zum Beispiel eine neue Gruppe von Gesetzen für den Himmel vorgeschlagen. Laut seiner Theorie ist die Sonne feststehend und die Planeten umkreisen sie. Galileo war ein Pionier der experimentellen Methode, zumindest was die Untersuchung von Bewegung betrifft. Er hat experimentell bewiesen, dass die meisten Bewegungsgesetze von Aristoteles falsch waren. Isaac Newton war der Gründer der modernen Wissenschaft von Dynamik. Newton entdeckte vieles, was wir heute verwenden, um die Physik der Bewegung unter Einfluss der Schwerkraft zu verstehen. Er schlug die damals radikale Ansicht vor, dass die Bewegungsgesetze dieselben auf der Erde und im Himmel sind. Das heißt, Schwerkraft ist eine universelle Kraft, die gleich wirkt, egal wo im Universum. Newton, nebst Leibnitz, erfand auch den Zweig der Mathematik, den wir Analysis nennen und der seit jeher das vorrangige Werkzeug ist, um zu untersuchen, wie sich Systeme über Zeit und Raum ändern. Pierre-Simon Laplace war ein großer Befürworter des Newtonschen Reduktionismus und Determinismus. Ich werde ein sehr berühmtes Zitat von ihm vorlesen, das seine Ansicht eines deterministischen Universums, in dem es prinzipiell möglich ist, alles zu wissen, zusammenfasst. Laplace sagte: "Wir müssen also den gegenwärtigen Zustand des Universums als Folge eines früheren Zustands und als Ursache des zukünftigen Zustands, ansehen. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblick alle Kräfte kennt, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwärtige Lage der Gebilde die sie zusammensetzten, und die überdies umfassend genug wäre, diese Kenntnisse der Analyse zu unterwerfen, würde in der gleichen Formel die Bewegungen der größten Himmelskörper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Für solch eine Intelligenz wäre nichts ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lägen klar vor ihren Augen. Während Laplace dies in den frühen 1800ern schrieb, können wir uns heute vorstellen, dass diese Intelligenz ein Computer sein könnte, ein Super-Computer, der in der Lage wäre, alle Partikel im Universum zu modellieren, zum Beispiel, und die Kräfte, die auf sie wirken und der alles vorhersagen könnte. Diese Ansicht der Möglichkeit vollständiger Vorhersage war weitgehend akzeptiert bis ins späte 19. oder frühe 20. Jahrhundert. Obwohl früher Henri Poincare, ein Französischer Mathematiker, begann über mögliche Gründe zu spekulieren, wieso solch perfekte Vorhersagen nicht möglich sein könnten. Er war ein Pionier der modernen Theorie über dynamische Systeme und das Konzept von Chaos. Lassen Sie mich sein berühmtestes Zitat vortragen. Poincare sagte: Würden wir die Gesetze der Natur und den Urzustand des Universums exakt kennen, könnten wir exakt die Situation desselben Universums in einem darauffolgenden Moment vorhersagen. Dies deckt sich mit dem, was Laplace gesagt hat. Aber dann fährt er fort: Doch selbst wenn es so wäre, dass die Naturgesetze kein Geheimnis mehr für uns wären, könnten wir dennoch die Anfangssituation nur ungefähr kennen. Sollte dies uns ermöglichen, die folgende Situation mit derselben Annäherung vorherzusagen, dann haben wir, was wir benötigen und wir könnten sagen, dass das Phänomen vorhergesagt wurde. Dass es von Gesetzen bestimmt ist. Aber dies ist nicht immer so. Es könnte passieren, dass kleine Unterschiede in den Anfangsbedingungen sehr große im letztlichen Phänomen hervorrufen. Ein kleiner Fehler in ersterem wird einen enormen Fehler in letzterem hervorrufen. Vorhersagen wird unmöglich. Dieses Zitat stellt das Konzept der sogenannten empfindlichen Abhängigkeit von Anfangsbedingungen vor. Betrachten Sie die Idee von Laplace. Wenn Sie zu einem bestimmten Zeitpunkt die exakte Position und Geschwindigkeit jedes Atoms im Universum kennen würden, könnten Sie Newtons Gesetze benutzen, um exakt vorherzusagen, was die Positionen und Geschwindigkeiten der Atome zu einem genauen Zeitpunkt in der Zukunft sein werden. Nehmen wir jedoch an, dass wir nicht genau die Positionen kennen. Nehmen wir an, sie sind nur zu einer endlichen Dezimalstelle bekannt. Was Poincare sagt, ist dass es manche Systeme gibt, nicht alle, aber manche, in denen, falls man irgendeine Dezimalstelle der Position oder Geschwindigkeit falsch hat, die Rechnung letztendlich weit daneben liegen wird. Dies könnte die 10. Dezimalstelle sein, die hunderdste, tausendste, oder wie weit auch immer man gehen möchte. Das System, wenn es empfindlich bezüglich Anfangsbedingungen ist, wobei Anfangsbedingungen zum Beispiel, die Positionen und Geschwindigkeiten jedes Atoms zu einem gewissen Zeitpunkt ist, wenn es auf diese Art empfindlich ist, dann wenn man nicht die exakten Werte der Anfangsbedingungen kennt, wird Vorhersagen unmöglich. Poincares Konzept von empfindlicher Abhängigkeit von Anfangsbedingungen ist illustriert durch den berühmten sogenannten Schmetterlingseffekt. In diesem hypothetischen Beispiel flattert ein kleiner Schmetterling mit seinen Flügeln in Tokyo. Dies verursacht eine Veränderung in der Position und Geschwindigkeit von ein paar wenigen Luftmolekülen. Falls das ganze Wettersystem empfindlich bezüglich der Anfangsbedingungen ist und die Wettervorhersager den Schmetterling nicht berücksichtigen, wird ihre Vorhersage nach einiger Zeit weit daneben liegen, und der Schmetterling könnte tatsächlich einen Hurrikane erzeugen. Dies bedeutet nicht, dass dies tatsächlich passiert, oder dass das Wetter empfindlich bezüglich Anfangsbedingungen ist, Poincare sagt nur, dass es Systeme mit dieser Eigenschaft gibt und wir wissen nicht, welche dies alle sind. Wir werden uns ein einfaches ein bisschen später in dieser Kurseinheit anschauen. Jetzt können wir das Konzept von Chaos definieren. Chaos wird in Alltagssprache gebraucht, um ungefähr Unordnung auszudrücken, aber in der Theorie dynamischer Systeme bedeutet es etwas Spezielles. Es ist ein spezieller Typ von Dynamik eines Systems. Es ist eine Art, in der sich Systeme verändern. Es ist definiert als empfindliche Abhängigkeit von Anfangsbedingungen. Wir werden dies später noch konkretisieren. Vielleicht kennen Sie diesen Typen, Dr. Ian Malcolm, der frage: "Sie haben noch nie von Chaostheorie gehört? Nicht-lineare Gleichungen? Seltsame Attraktoren? Falls Ihnen dies bekannt vorkommt, haben Sie ihn vielleicht gesehen. Er war ein Charakter in einem Buch, und dann in einem Film, genannt Jurassic Park, damals in den 90ern. Vielleicht wissen Sie oder auch nicht, dass die Fortsetzung von Jurassic Park, auch geschrieben von Michael Creighton und verfilmt, den Namen The Lost World trug. Ein Teil von The Lost World spielte im Santa Fe Institut. Im Prolog finden wir "Leben am Rande des Chaos". Creighton schreibt, dass das Santa Fe Institute in ein paar Gebäuden der Canyon Road beherbergt war, das früher ein Kloster gewesen war. Dies ist tatsächlich wahr. Die Seminare des Instituts wurden in einem Raum abgehalten, der als Kapelle diente, was auch wahr ist. An einem Podest stehend mit einem Lichtstrahl auf ihn, Ian Malcolm, hinabscheinend, pausiert er dramatisch bevor er seinen Vortrag fortführt, ganz in schwarz gekleidet, sich auf seinen Gehstock stützend, wirkt Malcom sehr ernst. Er war im Institut für seine unkonventionelle Analyse und seinen Hang zum Pessimismus bekannt. Seine Rede, die Augustus mit Leben am Rande des Chaos betitelte, war typisch für sein Denken. Darin präsentierte Malcom seine Analyse der Chaostheorie, wie sie auf Evolution zutraf. Als dieses Buch und der Film erschienen, bemerkten viele Menschen, dass es einen Ort namens Santa Fe Institut gab. Ich war dort in der Mitte der 90er, als ansässiges Fakultätsmitglied, und eines Tages kam der Santa Fe Institut Bibliothekar zum Mittagessen und setzte sich zu einer Gruppe von Lehrern und Post-Docs des Instituts und bemerkte heiter, dass jemand ihr einen Brief geschrieben hatte mit Bitte um Professor Ian Malcolm's Forschungspapieren. Da nunmal Post-Docs Post-Docs sind, entschieden sie sich, das Offensichtliche zu tun, und zwar eine Webseite für Ian Malcolm zu erstellen. Hier sehen Sie seine Webseite am Santa Fe Institut, die manche seiner Forschungspapiere, seine Forschungsinteressen und so weiter enthielt, und erst als das Kuratorium des Santa Fe Instituts entschied, dass dies unprofessional war, wurde Ian Malcolms Webseite heruntergenommen. Chaos ist ein sehr wichtiges Gebiet in der Theorie von dynamischen Systemen und taucht in vielen verschiedenen Kontexten auf. Sie können all diese verschiedenen Gebiete sehen, in denen Chaos entdeckt wurde, wie zum Beispiel Gehirnaktivität, Populationswachstum, Finanzdaten, und so weiter. Wir werden das Phänomen von Chaos in Populationswachstum in einem sehr einfachen Modell von Populationswachstum betrachten. Wir werden die Frage beantworten, was der Unterschied zwischen Chaos und Zufälligkeit ist. Dies erweist sich als eine feinsinnigere Frage als man denken möchte. Wir werden dies durch das Konzept von "Deterministischem Chaos" erkunden.