Abbiamo parlato di come le dinamiche chimiche possano portare a comportamenti ciclici a al caos e qui vogliamo renderlo un po' più esplicito Un modello classico che è stato usato per osservare questi tipi di fenomeni è noto come il "Brusselatore". È descritto in questo insieme di astratte reazioni chimiche elencate qui nel mezzo dello schermo. Ora, queste reazioni chimiche possono essere convertite in un insieme di due equazioni differenziali assumendo di mantenere le concentrazioni di A e B costanti nel sistema. E, in questo caso, abbiamo aggiunto queste diverse costanti di reazione, K1 e K2, che descrivono le costanti di reazione associate alle frecce sopra. Il sistema può essere facilmente non dimensionato per un sistema più semplice, dove abbiamo combinato i parametri con parametri effettivi, un po' di A, un po' di B e così via. Il sistema ha un semplice equilibrio quando x=a (questo parametro effettivo) e y=b/a (il rapporto dei parametri effettivi) Inoltre, la cosa interessante di questo modello, è che ciò a cui siamo interessati non è solo l'equilibrio bensì la dinamica che porta all'equilibrio e se l'equilibrio sia stabile. Usando tecniche note come analisi di stabilità, che sono un intero campo, è possibile dimostrare che l'equilibrio sarà instabile per b > a^2 + 1. Diamo un'occhiata a cosa può sembrare. Se b è sufficientemente inferiore a a^2 + 1, allora potrete partire con qualche iniziale concentrazione di x e y e queste due sostanze chimiche avranno qualche comportamento transitorio che porterà ai due equilibri che abbiamo descritto nelle slide precedenti. Ora, se rendiamo b appena inferiore a a^2 + 1, molto vicino a a^2 + 1, notiamo che si raggiunge lo stesso equilibrio ma ora, nel comportamento transitorio compaiono queste oscillazioni che, nel tempo, svaniscono e ci vuole molto tempo per raggiungere l'effettivo equilibrio. E se rendiamo b appena superiore a a^2 + 1 quindi è il caso in cui è prevista instabilità ora vediamo che abbiamo oscillazioni perpetue Quindi il sistema passa naturalmente attraverso un'oscillazione; torna naturalmente e periodicamente a un specifico stadio e, in questo caso, quando velocemente succede, quanto frequentemente questi stati si manifestano la frequenza aumenta nel tempo. Ora, un altro modo di guardare a questi equilibri nell'insieme delle dinamiche, è un diagramma di fase di x verso y Ciò vuol dire osservare i valori appaiati di queste due concentrazioni, x e y. Quindi il tempo non è esplicito, eccetto per l'animazione e nel primo caso, dove b e molto meno, o significativamente meno di a^2 + 1, allora vedremo che le dinamiche hanno il semplice caso in cui si parte da un qualsiasi punto nello spazio e si raggiunge semplicemente questo equilibrio. C'è un minimo comportamento transitorio ma raggiungiamo un sistema fisso a punto singolo. Questo caso in cui b è appena inferiore a a^2 +1 dove avevamo un comportamento dissipatorio fino a un equilibrio di oscillazione transitoria sembrerà qualcosa come questo nel grafico di base Potete vedere che entriamo in una spirale fino all'equilibrio che ci aspettavamo. Quindi, ecco un'interessante dinamica oscillatoria transitoria. E se andiamo sopra a^2 +1 dove ci aspettiamo che il sistema sia instabile allora abbiamo questo limite ciclico. Quindi passeremo sempre attraverso questo insieme di valori appaiati di x e y periodicamente a frequenza crescente. La cosa interessante di queste dinamiche è che sono completamente deterministiche. Quindi, non abbiamo inserito alcuna stocasticità nel sistema. Abbiamo questo modo completamente deterministico di ottenere oscillazioni nel tempo, e quindi ci dice che solo le dinamiche inerenti le dinamiche chimiche, anche senza rumore di fondo, possono portare a comportamenti oscillatori molto interessanti. E che il comportamento oscillatorio può essere anche più complicato di ciò che abbiamo descritto Quindi, un classico sistema per osservare il caos è il sistema Lorenz. E allora, abbiamo valori accoppiati, o abbiamo triplette di valori di concentrazioni x, y e z ognuno relativo a queste equazioni differenziali che sto mostrando qui in forma non dimensionale Ciò fu originalmente scoperto nella dinamica atmosferica da Ed Lorenz e può essere mappato su una varietà di sistemi, incluse alcune dinamiche chimiche. Ora, la cosa interessante di questo caso è che questo sistema origina anche equilibri fissi, quindi dove x, y e z tendono ad un unico valore, ma per gli altri valori parametrici nel sistema, troveremo una tendenza verso dinamiche caotiche. E questo è ciò a cui sembrano quelle dinamiche caotiche. Quindi, guardano solo a x e y. Quindi c'è un set dei valori di z associati con tutte questi e osserviamo solo la proiezione nello spazio x, y. Facendo questo, notiamo che abbiamo questa oscillazione molto complicata dove non si oscilla solo tra un gruppo di valori complicati in x e y, ma anche di transizione tra questi die bacini di attrazione.