In deze video gaan we kijken naar de groei en evolutie van types de types kunnen van alles zijn zoals genotypes van een populatie of molecules in een proefbuis laten we eerst kijken naar de groei van een enkel type x toont hoeveel van deze types we hebben hoeveel molecules wat de concentratie is, en zo verder w is de groeisnelheid van dit type en als we van het ene tijdstip naar het volgende gaan x' is de concentratie van het aantal moleculen van het volgende tijdsstip als we t tijdstippen verder willen kijken dan zetten we w tot de macht t en dan is xt gelijk aan wt maal x nul. kijk naar wat er gebeurt als we dat doen ik zet w gelijk aan 1.1 en ik start met X0 gelijk aan 1 we zien de groei van dit enkele type het type neemt toe van 1 tot 10 en verder en laten we nu kijken naar wat gebeurt als de groeisnelheid lager is dan 1 laten we een groeisnelheid kiezen van 0.9 en al de rest hetzelfde nu zien we dat het type vermindert in frequentie het start bij 1 en daalt exponentieel naar nul deze daling onder 1 is gekend als de uitstervingsdrempel als een type of molecule onder de uitstervingsdrempel valt zal het gewoonweg verdwijnen de meeste moleculen rondom ons bezitten deze eigenschap en enkel moleculen die zichzelf met hoge getrouwheid vermenigvuldigen kunnen tot boven de uitstervingsdrempel stijgen de uitstervingsdrempel is niet hetzelfde als de foutencatastrofe waarover we hier gaan praten de foutencatastrofe vindt niet plaats als een type uitsterft maar als het zichzelf niet in stand kan houden tegen andere types we kunnen meer dan één type voorstellen als een vector in een populatie laten we naar twee types kijken x is nu de vector met één van type één en één van type twee en als x de vector is kunnen we de groei voorstellen als een diagonale matrix W is de groei matrix en hier neem ik 1.1 en 0.95 we gaan van één tijdsstip naar het volgende waarbij x' gelijk is aan W, de matrix, maal x, matrixvermenigvuldiging als we W met x vermenigvuldigen krijgen we 1.1 en 0.95 type één is dus gegroeid met 10% en type twee is gedaald met 5% als we W twee keer willen toepassen we doen W maal W maal x0 en je ziet dat we W links plaatsen we voegen links meer en meer W's toe dat is zo omdat ik gekozen heb dat x een kolom vector is als ik x als rijvector had genomen dan zette ik x links en de W's rechts we kijken naar x op tijdsstip t door gewoon de matrix tot de macht t te verheffen, maal x0 laten we dat doen we beginnen weer met 1.1 we nemen de W matrix zoals daarnet en hier zie je de groei van beide types type één groeit exponentieel in frequentie type twee daalt want de groeisnelheid is lager dan een en daalt naar nul type één neemt de populatie over je kan nu denken dat dit elk soort populatie beschrijft als we mutatie hebben dan zouden we slechts enkel type één als het wildtype hebben als het aanwezige type en alle andere types worden voorgesteld als kleine mutanten het is gebleken dat dit niet bepaald een goede beschrijving is van een soort in de meeste gevallen. in de meeste gevallen wordt een soort niet vertegenwoordigd door één optimaal type en alle andere, weinig voorkomende, types. Laten we het plot dat we hier hebben als een log-plot. Nu zien we dat type 1 exponentieel toeneemt, als een rechte lijn in een log-plot en type 2 daalt exponentieel. We gaan mutaties toevoegen. Ik voeg nu een mutatie van 10% toe en mutaties worden simpelweg voorgesteld door een stochastische matrix M, waarin type 1 zichzelf in stand houdt met een probabiliteit van 1 minus µ, en muteert naar type 2 met probabiliteit µ. Type 2 muteert niet, het blijft bestaan als type 2 en muteert niet naar type 1 We nemen M, we starten van dezelfde x0 zoals daarnet, en laten we nu kijken naar wat gebeurt als we muteren. Aangezien type 1 muteert naar type 2, zien we dat er minder type 1 is, en meer type 2. Nu willen we de dynamiek voorstellen met zowel mutaties als groei. Dit doen we door gewoon de matrices te vermenigvuldigen, W maal M. Het is ook mogelijk M met W in de omgekeerde volgorde te vermenigvuldigen, en dat zegt gewoon wat eerst gebeurt, groei of mutatie. Aangezien groei volgt na mutatie, na groei, na mutatie, is het niet belangrijk in welke volgorde we dit doen. Ik koos simpelweg W maal M omdat het algoritme zo beter loopt. Als we W maal M, de matrix, nemen en die diagonaal voorstellen, is het gemakkelijker te kijken naar de matrix macht. Als W maal M gelijk is aan V maal D maal D-1, waarin D de diagonale matrix is en V is de eigenvector matrix, met de eigenvectors