在最后一部分中，我向您展示了返回地图的工作原理，
如何在它们和时域之间来回切换，
以及它们如何帮助您了解动力学，
以及如何在参数值变化时理解动力学中的分叉。
我完成了第三次表示，分叉图。
这是逻辑图的分岔图。
在纵轴上是一组逻辑映射的迭代，
在一些参数值R处，其在水平轴上绘制。
只是为了提醒你这种情节和时域之间的对应关系，
以及返回地图，我要画几张照片。
这是逻辑映射的轨道的时域图，
其在参数R的低值处收敛到固定点。
在返回地图上，此轨道看起来像这样。
要构建分岔图，可以消除瞬态;
也就是说，你迭代了很多次，把这些点扔掉了，
然后再迭代一堆，然后你绘制这些点，
好像你正在从侧面看那个顶部的边缘。
在这种情况下，那些点将全部落在彼此之上。
同样分支图的每个垂直切片
都是这样的一个时域图，
从侧面看, 瞬态被移除。
如果我们将R调高一点，时域图将如下所示，
返回图将如下所示，
分叉图上的点将看起来像2个点。
同样，三种不同的表示形式提出了三种不同的东西：
左上角的时域图表显示了迭代的整体行为;
左下方的返回映射表示
迭代进入原点的几何形状，
以及连续迭代之间的相关性;
分岔图表示随着R变化（包括分叉），
轨迹的渐近行为会发生什么变化。
现在，如果你重复我们刚刚完成的程序更精细，
但使用计算机而不是平板电脑和手写笔，你会看到的是这个。
实际上还有一个步骤，
我们将在这个细分市场结束时再回来。
现在，您可以在此图中看到各种结构。
这是该细分市场的主要焦点。
首先，你看到低R的固定点出现在这里，
然后在这里分成2个周期，
在这里分成4个循环，然后最终进入一个
混沌。这就是这种灰色的带状行为。
如果你从屏幕的右侧边缘看它，
这就是右边的划分。
在混沌的区域，你也会看到这些“面纱”：
吸引区域比其它区域更灰暗。
那些面纱与所谓的“不稳定的周期轨道”有关，
我们稍后会详细讨论它们。
正如我们所见，这个分叉序列
从固定点到2个周期，到4个周期，到8个周期，依此类推。
由于显而易见的原因，这被称为“倍周期级联”。
我还在最后一段向你展示了混乱中有秩序区域;
也就是说，对于某些R值，存在混沌，
但如果你稍微提高了R，那么你又回到了一个周期性的区域。
这个特定的周期性制度以3个周期开始，然后进入6个周期
和12个周期，依此类推。
所以这是另一个倍周期分岔序列。
您可能还记得，在本课程的第一部分，
看了篇名为的论文的标题“周期-3意味着混乱”。
在这张地图中有一个3期轨道的事实是非常非常重要的。
如果人们对此感兴趣，我可以录制一个辅助视频。
关于这个结构的另一个有趣的事情是
它包含自身。
如果要放大红色圆圈内的那块结构，
它看起来就像是整个结构。
也就是说，这是一个分形对象。
我相信很多人都听说过分形。
分形是具有非整数的集合豪斯多夫维
（数学上，这是正式术语）。
非正式地说，是“自相似的”。
第二行图像显示了一个叫做Koch曲线的东西。
构造这个分形的方法是采用等边三角形，
然后取3个等边三角形，边长为1/3，
并将它们粘贴在那个物体的每个暴露面上。
然后你迭代; 你拿小三角形
把它们粘在每个尖尖的面的两侧
最终你会得到一个看起来很像雪花的美丽结构。
分形在数学中起着有趣的作用。
在自然界中也存在许多分形和分形结构的例子。
这是一个例子。
分形也是计算机图形中与自然有用的类比。
这是美丽的分形，称Mandelbrot set (曼德博集) 。
这段视频告诉你，如果放大曼德博集，
你会看到越来越多的结构;
事实上你会看到自相似的结构。
有一个全新的Mandelbrot曼德博集。
你可以继续放大和放大，
你会看到自相似的结构。
我在本课程的Complexity Explorer网站
的补充材料部分添加了该视频的链接，
就在这里，在本单元的这一部分的部分下。
您应该去那里找到
您可能需要做的功课的链接，
像这个Logistic Map应用程序，
对于像这篇论文的材料，你会看到
如果你想了解更多有关这些概念的信息
我在那个部分谈过的。
我还提供了一些教程材料的链接
以及其他可能对你有帮助的事情，如果你需要一些背景来补充
这是一个重要的事情：分形和混沌之间的联系。
有一种联系，但不是当且仅当
许多混沌系统都有一些分形结构，
但并非所有混沌系统都具有分形结构的情况;
也就是说，有些混乱的系统没有分形结构，
肯定有大量的分形与混乱无关，
但科普出版社已将这两个主题混为一谈。
如果您想了解有关分形的更多信息，
你可以看一下 Dave Feldman (戴夫费尔德曼) 在MOOC上的课程。
最后一点，与瞬态长度有关：
对于某些R值，瞬态真的很长？
您认为这将如何在分叉图中体现出来？
也就是说，这里有一些固定点，但轨迹是
用很长时间才到达这些点。
在分叉图上看起来像是这样的。
我试图从轴上画出一系列的点，
然后慢慢地越来越近，但是要永远地到达那里。
因此如果我们想要看到渐近行为，
我们想要抛弃瞬态，
但是如果我们
想在这里摆脱瞬态，我们需要抛出多少点？
我们真正需要做的是很多次迭代
但没有绘制这些点，
然后从那个轨道的终点，
很多次迭代，并绘制这些点。
这相当于省略了瞬态。
但问题是，这些：
你如何选择要迭代多少点才能摆脱瞬态，
你如何选择要绘制的点以便获得非常好的图片？这些都很棘手。
您希望红色束数足够大，以便您可以看到结构
但不是很大，以至于绘制点的有限大小会遮挡结构。
你想扔出足够多的点，因此瞬态真的已经消失了，
但这有多长？ 真的，没有办法知道。
它们往往在分叉之前变长。
在练习中你所做的是增加你在绘图之前扔掉的点数，
直到周期轨道清晰。
那些扔掉的点远远超过了分叉，
当然，瞬态很短，
但除此之外，你的轨道会在分叉点附近变厚。
所有这些都将在下一部分中发挥作用，
我们将深入研究分岔图中收缩宽度和高度背后的模式。