لقد أريتكم في القسم الماضي، كيف تعمل تطبيقات الإرجاع،
كيف تتحرك ذهاباً وإياباً بينها وبين المجال الزمني،
وكيف تساعدك على فهم الديناميكا،
كما تساعدك أيضاً على فهم التشعبات في الديناميكا عندما تتغير قيمة الوسيط.
لقد أنهيت مع التمثيل الثالث، رسم التشعب البياني.
ها هنا رسم تشعب بياني للتطبيق اللوجيستي.
يوجد على المحور العمودي مجموعة من تكرارات التطبيق اللوجيستي،
عند قيمة ما للوسيط R ، والتي مُثّلت برسم بياني على المحور الأفقي.
فقط لأذكّركم بالتوافق بين هذه الأنواع من الرسوم البيانية
والمجال الزمني، وبين تطبيق الإرجاع، سوف أرسم بضعة صور.
ها هنا رسم المجال الزمني البياني لمدار التطبيق اللوجيستي
عند قيمة منخفضة للوسيط R الذي يقترب من نقطة ثابتة.
على تطبيق الإرجاع، سيبدو هذا المدار هكذا.
لتنشأ رسم تشعب بياني، تزيل العابر:
ذلك هو، تكرر مجموعة من الأزمنة، وترمي بهؤلاء بعيداً،
ومن ثمّ تكرر مجموعة من الأزمنة الإضافية، وترسم هذه النقاط بيانياً
كما لو أنّك تنظر إلى الرسم البياني في الحافة العلوية من الجانب.
في هذه الحالة، ستقع كل هذه النقاط فوق بعضها البعض، هناك.
إذاً، مجدداً، كل شريحة عمودية من رسم التشعب البياني
هي رسم مجال زمني بياني واحد كهذا، والعابر المُزال،
مُشاهد من الجانب.
إذا رفعنا R قليلاً، سيبدو رسم المجال الزمني البياني هكذا
سيبدو تطبيق الإرجاع هكذا،
عند النقطة على رسم التشعب البياني سيبدو كنقطتين.
مجدداً، ثلاث تمثيلات مختلفة، تأتي بثلاثة أشياء مختلفة:
رسم المجال الزمني في أعلى اليسار
يأتي بالسلوك الشامل للتكرارات:
تطبيق الإرجاع في أدنى اليسار يأتي بالهندسة التي
تسبب ذهاب التكرارات إلى حيث تذهب، وأيضاً الترابط بين التكرارات المتتالية:
يأتي رسم التشعب البياني بماهية التغييرات حول السلوك المقارب
للمسار بينما يتغير R، بما فيها التشعبات
الآن، إذا كررت الإجراء الذي مررنا به للتو، على حبّة أدقة بكثير،
لكن باستخدام حاسوب بدلاً من جهاز لوحي وقلم، هذا ما ستراه.
في الواقع يوجد خطوة إضافية هناك، والتي سنعود لها
في نهاية هذا القسم.
الآن، يمكنك أن ترى كل أنواع البنيات في الرسم البياني هذا.
ذلك التركيز الرئيسي لهذا القسم.
أولاً، ترى النقطة الثابتة تتقدّم لـ R منخفضة، هنا،
ومن ثمّ تتشعب إلى دورة-2 هنا،
تتشعب إلى دورة-4 هنا، ومن ثمّ في آخر الأمر،
تدخل في نظام مشوش. ذلك ما هو السلوك الرمادي المطوّق.
ذلك ما سيبدو عليه رسم الجهة اليمنى هذا إذا نظرت إلى حافته
الجهة اليمنى على الشاشة.
ترى أيضاً داخل الأنظمة المشوشة هذه "الأحجبة":
مناطق حيث فيها الجاذب أغمق من المناطق الأخرى.
هذه الأحجبة متصلة بما يدعى "مدارات دورية غير مستقرة"،
وسنتحدث عنهم أكثر لاحقاً.
كما رأينا، هناك تسلسل التشعب هذا
من نقطة ثابتة، إلى دورة-2، إلى دورة-4، إلى دورة-8، وهكذا..
يدعى ذلك بـ "تتالي دوري مضاعف" للسبب الواضح.
ولقد أريتك أيضاً في القسم الماضي أنّه قد كان يوجد مناطق نظام
داخل الشواش: وذلك لقيمة R ما، لقد كان هناك شواش،
لكن بعدئذٍ إذا رفعت R قليلاً، عدت إلى نظام دوري.
هذا النظام الدوري خاصةً يبدأ بدورة-3، ومن ثمّ يذهب إلى دورة-6
ودورة-12، وهكذا.
إذاً، إنّه تسلسل تشعب مضاعف الدورة آخر.
قد تتذكر، في القسم الأول من هذه الدورة،
لقد أريتك عنوان صفحة من بحث يدعى "دورة-3 تدل على الشواش".
في الواقع يوجد هناك مدار دورة-3 في هذا التطبيق وهو هام جداً.
وإن كان الناس مهتمين بذلك، أستطيع أن أسجّل فيديو مساعد إضافي حول ذلك.
شيءٌ آخر مثير للاهتمام لتلاحظه حول هذه البنية
هو أنّها تحتوي على نسخ صغيرة من نفسها.
إن كنت ستكبّر على ذلك الجزء من بنية داخل الدائرة الحمراء،
سيبدو مثل البنية كاملةً.
ذلك هو، هذا شيء كُسيري.
أنا متأكد أنّ العديد منكم قد سمع بالكسيريات.
الكُسيريات هي مجموعات لديها بعد Hausdorff عدد غير صحيح
(رياضياً، ذلك المصطلح الرسمي).
وبشكلٍ غير رسمي، أنّهم "متشابهين ذاتياً".
يُظهر الصف الثاني من الصور هنا شيئاً ما يدعى منحني Koch.
الطريقة التي أنشأت بها هذا الكُسير هي من خلال أخذ مثلث متساوي الأضلاع،
ومن ثمّ أحذ ثلاث مثلثات متساوي الأضلاع، 1/3 الحجم، بمعنى طول الحافة،
وإلصاقهم إلى كل سطح مكشوف من ذلك الشيء.
ثمّ تكرر: تأخذ مثلثات صغيرة
وتلصقهم على جوانب كلٍّ من هذه السطوح المدببة، وتستمر بذلك.
في آخر الأمر، سوف تحصل على هذه البنية الجميلة التي تشبه ندفة الثلج كثيراً.
تلعب الكُسيريات دوراً مثيراً للاهتمام في الرياضيات.
يوجد أيضاً الكثير من الأمثلة لهياكل الكُسيريات وأشباه الكُسيريات في الطبيعة.
ها هنا مثال.
الكُسيريات أيضاً نظائر مفيدة للطبيعة في الرسوم البيانية الحاسوبية.
ها هنا كُسير جميل يدعى بمجموعة Mandelbrot،
ويريك هذا الفيديو أنّه إذا كبّرت على مجموعة Mandelbrot،
تستمر برؤية هياكل أكثر وأكثر:
في الواقع، تستمر برؤية أنّه متشابه ذاتياً.
هناك مجموعة Mandelbrot كاملة جديدة بنهاية المحالق من المجموعة القديمة.
ويمكنك أن تستمر بالتكبير،
وتستمر برؤية هيكل مشابه ذاتياً.
لقد ضمّنت رابط لذلك الفيديو في قسم المواد المساعدة الأضافي
لموقع المستكشف المعقد لهذه الدورة،
هنا، تحت القسم لهذا الجزء من هذه الوحدة.
تذكر، هنا حيث يجب أن تذهب
للروابط للمواد التي قد تحتاجها لتقوم بالواجب،
مثل التطبيق Map اللوجيستي هذا،
لمواد مثل هذا البحث، والذي قد تبحث عن
إذا أردت أن تتعلم أكثر عن المفاهيم التي تحدثت عنها
في ذلك القسم.
ولقد ضمّنت أيضاً بعض الروابط مواد دروس
وأنواع أخرى من الأمور التي قد تساعدك إذا احتجت خلفيةً ما لتكملها.
وها هنا أمرٌ هام: الارتباط بين الكُسيريات والشواش.
هناك ارتباط، لكنه ليس " إذا وفقط إذا".
الكثير من الأنظمة المشوشة لديها بنية كُسير،
لكن ذلك لا يعني أنّ كل أنظمة المشوشة لديها بنية كُسيرية:
وذلك أنّه يوجد أنظمة مشوشة ليست لديها بنية كُسيرية،
وبالتأكيد هناك الأطنان من الأنظمة التي ليس لها أي علاقة بالشواش،
لكن الصحافة العلمية الشعبية قد دمجت بي هذين الموضوعين.
إن كنت تريد أن تتعلم المزيد عن الكُسيريات،
يمكنك أن تلقي نظرة على دورة Dave Feldman في الدورة الألكترونية المفتوحة على Complexity Explorer.
نقطة أخيرة هنا، فيما يتعلق بطول العابر:
هل تذكر أنّه لبعض قيم R، لقد كان العابر طويلاً جداً؟
كيف تعتقد سيبدو ذلك في رسم التشعب البياني؟
حيث يوجد نقطة ثابتة ما هنا، لكن المسار يأخذ
وقتاً طويلاً جداً ليصل إلى هناك.
ماذا سيبدو ذلك على شريحة من رسم التشعب البياني هو هذا.
من الصعب رؤية ذلك، لكنني أحاول أن أرسم سلسلة من النقاط قادمة من المحور
وتقترب ببطئ أكثر وأكثر، لكنها تأخذ وقتاً طويلاً جداً لتصل لهناك.
إذاً، إذا أردت أن ترى سلوك مقارب،
نريد أن نرمي العابر، لكن كم من النقاط نحتاج لنرمي
إذا أردنا أن نتخلص من العابر هنا؟
لنتخلص من العابر، نحتاج في الواقع إلى خطوة أخرى في ترميزنا هنا.
ما نحتاج لفعله حقاً هو تكرار مجموعة كاملة من التكرارات،
لكن ليس لتمثيل هذه النقاط برسم بياني،
ومن ثمّ من نقطة نهاية المدار،
نكرر مجموعة أزمنة إضافية، ونمثّل هذه النقاط برسم بياني.
يؤدي ذلك إلى حذف العابر.
لكن السؤال هو، هذه الكلمات: كيف تختار كم نقطة لتكررها،
لتتخلص من العابر، وكيف تختار كم من النقاط لتمثلها برسم بياني
لكي تحصل على صورة جيدة جداً؟ كلاهما يتطلب براعة.
تريد مجموعة الأعداد الحمراء أن تكون كبيرة كفاية لكي ترى الهيكل
لكن ليست كبيرة كفاية بحيث يخفي الحجم المحدود للنقاط الممثلة برسم بياني الهيكل.
وتريد أن ترمي نقاط كفاية لكي يُحذف العابر تماماً،
لكن كم طول ذلك؟ لا يوجد أي طريقة لمعرفة ذلك، حقاً.
ويميلوا ليصبحوا أطول قبل التشعب تماماً.
في التمرين، ما تفعله هو زيادة عدد النقاط التي ترميها
قبل تمثيلهم برسم بياني، حتى تصبح المدارات الدورية مموجة على رسمك البياني.
كمية النقاط المرمية هي مبالغة بعيدة جداً عن التشعبات،
بالطبع، حيث يكون العابر قصيراً،
لكن على خلاف ذلك، سوف تزداد سماكة مداراتك بالقرب من نقطة التشعب.
سيلعب كل ذلك دوراً في القسم التالي، حيث سنتعمق في الأنماط
خلف تقلّص عرض وارتفاعات المعزقات في رسم التشعب البياني.