لقد قدّمت في القسم الماضي، مفهوم تطبيق الإرجاع:
الرسوم البيانية لـ x_n+1 مقابل x_n.
يجلبنا هؤلاء إلى الترابطات ب ين النقاط المتتالية في المسار.
الآن،الشيء الصعب حول هذا المجال عندما تبدأ بالدخول إليه، نستخدم الكثير
من التمثيلات المختلفة لنفهم ونفسّر أنظمة الديناميكا،
وغالباً نبدّل بين هذه التمثيلات بسرعة
وبدون تفسير.
سأحاول أن أحكي عندما أبدّل بين التمثيلات
وأخبركم بماذا يفيد كل واحد.
إذاً، ما سأفعله الآن هو محاولة مساعدتك لتقوم بالارتباط بين
رسوم المجال الزمني البيانية، والذين هم x_n مقابل n، وتطبيقات الإرجاع، والتي هي x_n+1 مقابل x_n،
وسوف أقوم بذلك من خلال إظهار لك الكثير من الصور المختلفة على الجانبين
في هذين المجالين، كما بدأت في نهاية القسم السابق.
التطبيق الذي استخدمته في الوحدة الماضية لتستكشف التطبيق اللوجيستي
يجعل ذلك سهلاً جداً، وحتى أنّه يضع كل هؤلاء الخطوط الذين كنت أرسمهم
بألوان مختلفة لأظهر أين هي التكرارات، وأجعلهم
أكثر استقامة بكثيرٍ مما فعلت.
يظهر الرسم البياني في الجهة اليمنى في التطبيق ماذا يحدث إذا كررت التطبيق اللوجيستي
من الشرط الإبتدائي هذا، باستخدام قيمة الوسيط R هذه، للتكرارات العديدة هذه.
ويمكنك أن ترى من الرسم البياني هذا أنّ هذه التكرارات تصل لنقطة ثابتة.
على الأرجح أنّك تتذكر، أنّنا إذا رفعنا الوسيط R، ستتحرك النقطة الثابتة للأعلى.
هنا، هذه R=2: R=2.1.
وعلى الأرجح أنّك تتذكر أيضاً، أنّنا إذا زدنا R أكثر، فلنقل إلى 2.2، تبدأ برؤية
القليل من التخطي. دعونا نزيد R أكثر قليلاً لنجعل ذلك
أكثر وضوحاً. هناك R=2.6 ويمكنك أن ترى حقاً التقارب
التذبذبي في الجهة اليمنى. الآن، انظر هنا: هذا رسم نسيج العنكبوت البياني،
هذا x_n+1 مقابل x_n، مثل التي رسمت منها مجموعة المرة الماضية، ويمكنك أن تبدأ برؤية
أنّ هذا التقارب هو تذبذبي. دعونا نجعله أكبر.
هناك R=2.8، وإنّك تبدأ برؤية القيمة التربيعية squared-off، تداخلات حلزوية
التي كنت أرسمها في القسم الماضي.
وآمل أنّك تتذكر أيضاً، أنّه عندما رفعنا R أكثر، كان هناك تشعب
مسبباً ذهاب هذه النقطة بعيداً ( في الواقع لقد أصبحت فقط غير مستقرة،
لم تذهب بعيداً)، وظهور دورة-2.
ها هنا مابدا عليه ذلك في تطبيق الإرجاع.
بينما نرفع R أكثر، تصبح الدورة 2 أكبر وأكبر، هاهنا 3.3، وها هنا 3.4،
وعند نقطة معينة، نحصل على دورة-4. الآن، يصبح من الصعب قليلاً رؤية
ما هو السلوك المقارب، لكن يمكنك أن تستخدم زر "إزالة تكرار" هذا
هنا لتزيل بعض التكرارات، بدءاً من البداية.
إذاً، ما أفعله هنا هو أنّي أزيل العابر.
وإذا أزلت بما فيه الكفاية من العابر في بداية المسار،
كل ما تراه هو جاذب، ويمكنك أن ترى بوضوح أنّه دورة-4،
ويمكنك أن ترى بوضوح من رسم الجهة اليمنى البياني حول ماهية
هندسة المنحني الأصفر والخط الأزرق اللذان يجعلان ذلك يحدث.
لـ R=3.65، ترتد كل التكرارات فوق كامل نطاق الدالة.
هذا جاذب مشوش، ويمكنك أن ترى أيضاً من هذه الصورة على اليسار
لماذا يدعى هذا أحياناً بـ "رسم نسيج العنكبوت البياني".
عند R=3.8، المسار مشوش بشكلٍ كامل، لكن انظر ماذا يحدث عند 3.83.
دورة-3. إذاً، لقد كان هناك تشعب آخر بين R=3.8 و R=3.83،
من مدار مشوش إلى مدار دوري.
إذاً، كيف يمكننا أن نلتقط غزارة السلوك هذه كلها - الجواذب المختلفة
والتشعبات بينهم - على رسم بياني واحد؟
بيمكننا أن نستخدم تمثيل آخر مفيد يدعى "رسم التشعب البياني"،
وإنّه مرسوم بيانياً على محاور x_n مقابل R. الآن، كيف نفكر بهذا؟
كل شريحة من الرسم البياني هذا هي واحدة من رسوم المجال الزمني البيانية التي أقمناها سابقاً،
مُشاهدة من الجانب، هكذا. هذه محاولة لرسم عين بشرية
تنظر إلى أسفل جانب الرسم البياني ذلك.
الآن، مع رسم التشعب البياني، نحن مهتمين في الجاذب،
السلوك المقارب. إذاً، عندما تقوم بهذا، فإنّك في الواقع
تزيل العابر من مقدمة المسار أيضاً.
الآن، فكر فيما إذا كنت تنظر إلى الرسم البياني من الجانب، تلك هي عينك:
ماذا سترى؟ سترى مجموعة من النقاط في مكانٍ واحد، بهذا الارتفاع.
تذكر، لن ترى هذه الأشياء، لأنّنا رميناهم.
إذاً، ما ستراه عند نقطة R=2 لرسم التشعب البياني ذلك
هو كل هذه النقاط فوق بعضهم البعض. تتوافق هذه الشريحة عبر رسم التشعب البياني
للرسم البياني هذا، وتلك الشريحة من رسم التشعب البياني
تتوافق للرسم البياني هذا. إذاً، ماذا سترى هذه العين؟
مجدداً، إنّنا نرمي العابر. مُشاهد من الجانب، رسم الجهة اليمنى البياني
سوف يبدو كنقطتين ("نقطة-نقطة") وثمّ "نقطة-نقطة"، وهكذا.
إذاً، لقد رسمت الصورة على إحدى جهتي التشعب الذي سبب
بذهاب النقطة الثابتة بعيداً، وبولادة الدورة-2.
ماذا إذا نظرت فيما بين ذلك المكان بحذرٍ أكثر؟
هذا ما سأراه. تذكر، تنتقل النقطة الثابتة للأعلى، ثمّ تتشعب
عند هذه النقطة إلى دورة-2، وتصبح الدورة-2 تلك أعرض وأعرض
وإذا قمت بذلك بحذرٍ شديد بواسطة حاسوب،
بدلاً من جهاز لوحي وقلم، ترى شيئاً ما جميلاً جداً.
وسوف نتعمق أكثر في تلك البنية بتفصيل أكثر في المرة القادمة.