En el último segmento, vimos que la Progresión de iteraciones del mapa logístico converge en una asíntota, En este segmento, voy a tener un poco más con las definiciones y Terminología en torno a todo esto. Te voy a mostrar lo que pasa parar Diferentes Valores de las condiciones iniciales x_0 y el parámetro R. En primer lugar, a esa noción de progresión de iteraciones, x_0, x_1 y así sucesivamente Es lo que se llama una órbita o una Trayectoria del sistema dinámico. Una órbita o una trayectoria es una Secuencia de Valores de las variables de Estado del sistema El mapa logístico tiene una variable de Estado X Otros sistemas pueden tener más de una variable de estado Mi péndulo, por ejemplo, que vieron en el Primer segmento. Se Necesita saber La posición y velocidad de ambos pesos del Péndulo para decir en qué estado está Retomará este tema en la tercera unidad del curso El valor inicial de la variable de estado En el mapa logístico, x_0, se denomina Condición inicial La trayectoria del mapa logístico desde el condición inicial, x = 0.2 con R = 2, alcanza lo que se llama un punto fijo Esa es la asintota, después de pasar por lo que se llama una transiente, Dibujé esa foto la última vez. Aquí la muestro nuevamente. Tecnicamente, un punto fijo es un estado del Sistema que no se mueve bajo la Influencia de la dinámica. Es decir, el punto fijo en que la órbita del mapa logístico converge, es lo que se llama un punto de atracción Fijo. Hay otros tipos de puntos fijos como Mostraré con mi péndulo Así que este es, sin duda, un punto fijo de la dinámica. El sistema está ahí y la dinámica no hace que se mueva, Y es Un punto fijo de atracción, porque si yo perturbo un poco, esa perturbación se reducirá, Regresando el dispositivo al punto fijo. Ahora, eso es un atractor de punto fijo. Como dije, hay otros tipos de puntos Fijos. Este es uno de ellos. O, hay uno aquí. Nunca he conseguido que el péndulo se siente. Hay un punto aquí donde el péndulo se equilibra Por eso es un punto fijo en el sentido que el sistema no se moverá de allá, Pero es un punto fijo inestable. Hay otros dos puntos fijos inestables en este sistema, Este y este otro de nuevo, todos estos puntos son estados del sistema donde la dinámica es estacionaria Esta definición que acabo de dar recoge ambos tipos de puntos fijos, estados que no se mueven bajo la influencia de la dinámica, pero no le indican cuando son estables, si se atraen, o inestables si se repelen Como el punto invertido del péndulo. Los sistemas dinámicos tienen tipos diferentes de comportamientos asintóticos Subconjuntos del conjunto de estados posibles a los que las cosas convergen con el tiempo hasta el infinito Estos se llaman atractores. Los atractores, por cierto, tienen cierta definición circular como lo que queda después que la transiente se extingue, Hay una manera de formalizar eso, que verán en un video extra, si les interesa. la atracción de puntos fijos es un tipo de atractor. Existen otros tres de los que hablará en el segmento próximo, y de todos ellos en el transcurso de las próximas dos semanas. Ahora, volvamos a los puntos fijos. ¿Recuerdas esta demostración? Usando la aplicación del mapa logístico, que mostrá que varias de las diferentes condiciones iniciales van al mismo punto fijo. Así que si usamos la condición inicial 0.1, y el valor del parámetro 2.2, vamos a este punto fijo. Probemos algo diferente Diferente transiente, igual punto fijo. Diferente transiente, aun conduce al mismo punto fijo. La forma en que pensamos sobre ese comportamiento, es que un grupo de condiciones iniciales van al mismo atractor, se define algo llamado Una cuenca de atracción. Si eres de los Estados Unidos, hay una analogía Fácil para que entiendas esto En el medio de los Estados Unidos, hay algo llamado la división continental Corre unas diez millas al oeste de donde me ubico en este momento, y una gota de lluvia que cae al oeste de la división continental corre hacia el océano pacífico Una gota de lluvia que cae al este de la La división correrá hacia el Atlántico. o tal vez al Mississippi y fuera de esa manera La analogía aquí es que el océano Atlántico es un atractor y en el terreno al este de la división continental se encuentra la cuenca de atracción. El Océano Pacífico es otro atractor, y El terreno al oeste de la división continental es la cuenca de atracción de ese atractor, y el límite de la cuenca divide esas dos cuencas. ¿Qué crees que pasará con una gota de lluvia que cae exactamente, en el límite de la cuenca? Ahora volvamos y exploremos lo que pasa Si cambiamos el parámetro R manteniendo x_0 fijo, es decir, usando la misma condición inicial. R=2.3, R=2.4, R=2.5, Como mencioné en el último segmento, el punto fijo de mueve. Eso es como la población de conejos, estabilizándose en un número mayor Si los zorros tienen menos hambre o la tasa de natalidad de los conejos es mayor. Ahora si miras detenidamente, verás que Las longitudes de las transientes difieren en ese experimento Lo acabo de hacer: R=2.2, la población se estabilizó muy rápido Tomé un poco más de tiempo en R=2.3 La analogía es que la población Toma un poco más de tiempo para convergeren esa relación de punto fijo de conejos y zorros, noté además este pequeño rebasamiento aquí, que se pronuncia más si elevamos R, Hay R = 2.6, R = 2.7, lo que está pasando aquí es que la órbita sigue convergiendo a un punto fijo, pero en vez de converger en un lado, converge en una oscilación Es algo así como, si presionas hacia abajo en el capot de tu coche, y el coche rebota Arriba y abajo por un instante, antes de establecerse.